Toán [Toán 9]Chứng minh bất đẳng thức

[Kim Kim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) [tex]x^{2}+x\sqrt{2}+1> 0[/tex]
2)[tex]\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< 2\sqrt{a} [/tex] (với a> b> 0)
3)[tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2[/tex] (với các số dương a,b,c)
4)
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/tex] (với các số dương a,b,c,d)
5)
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/tex]

 

[Trafalgar D Law]

1)

[TEX]x^{2}+2.x.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]=(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}>0[/TEX]

4)

(với các số dương a,b,c,d)

Đặt
[TEX]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
[TEX]B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}[/TEX]
[TEX]C=\frac{a}{a+d}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{a+d}+\frac{b}{a+b}[/TEX]

B+C=4

[TEX]A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4[/TEX] (BĐT cho 4 số dương)
Tương tự [TEX]A+C\geq 4[/TEX]
=> [TEX]2A+B+C\geq 8[/TEX]
=> [TEX]A\geq 2[/TEX]

 

[hothanhvinhqd]

5, biến đổi tương đương ta có : (x^2+y^2)^2-xy(x^2+y^2)+2x^2y^2-2xy(x^2+y^2) [tex]\geq[/tex] 0
= [tex]\left [ \left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2} + \frac{3y^{2}}{4} \right ] (x+y)^{2}[/tex] [tex]\geq 0[/tex]
ok, ổn rùi

 

[ngô thị thu huyền]

5)

[tex]\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=a \Rightarrow |a|>=2[/tex]
=> [tex]a^{2}-2=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}[/tex]
bđt <=> a^2-2+4 >= 3a
<=> a^2-3a+2>=0
<=> (a-1)(a-2)>= 0(1) mà |a|>=2
nếu a>=2 => (1) luôn đúng
nếu a=<-2 =>(1) luôn đúng =>dpcm
''=''<=> |a|=2 hay x=y

 

[Cao Khánh Tân]

Bài 3:

Áp dụng

 

[chi254]

1) [tex]x^{2}+x\sqrt{2}+1> 0[/tex]
2)[tex]\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< 2\sqrt{a} [/tex] (với a> b> 0)
3)[tex]\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}> 2[/tex] (với các số dương a,b,c)
4)
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/tex] (với các số dương a,b,c,d)
5)
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})[/tex]

Bài 3 :
Dễ dàng c/m được :
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \geq \dfrac{2a}{a + b + c}$
Tương tự :
$\sqrt{\dfrac{b}{a+c}} \geq \dfrac{2b}{a + b + c}$
$\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq \dfrac{2c}{a + b + c}$
Cộng từng vế : $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq 2$
C/m đẳng thức không xảy ra
Vậy $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2$

 

[Kim Kim]

Bài 3 :
Dễ dàng c/m được :
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \geq \dfrac{2a}{a + b + c}$
Tương tự :
$\sqrt{\dfrac{b}{a+c}} \geq \dfrac{2b}{a + b + c}$
$\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq \dfrac{2c}{a + b + c}$
Cộng từng vế : $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq 2$
C/m đẳng thức không xảy ra
Vậy $\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2$

Bài 3:

Áp dụng

[tex]\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}=a \Rightarrow |a|>=2[/tex]
=> [tex]a^{2}-2=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}[/tex]
bđt <=> a^2-2+4 >= 3a
<=> a^2-3a+2>=0
<=> (a-1)(a-2)>= 0(1) mà |a|>=2
nếu a>=2 => (1) luôn đúng
nếu a=<-2 =>(1) luôn đúng =>dpcm
''=''<=> |a|=2 hay x=y

5, biến đổi tương đương ta có : (x^2+y^2)^2-xy(x^2+y^2)+2x^2y^2-2xy(x^2+y^2) [tex]\geq[/tex] 0
= [tex]\left [ \left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2} + \frac{3y^{2}}{4} \right ] (x+y)^{2}[/tex] [tex]\geq 0[/tex]
ok, ổn rùi

[TEX]x^{2}+2.x.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]=(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{2}>0[/TEX]



Đặt
[TEX]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
[TEX]B=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{a+d}[/TEX]
[TEX]C=\frac{a}{a+d}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{a+d}+\frac{b}{a+b}[/TEX]

B+C=4

[TEX]A+B=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq 4[/TEX] (BĐT cho 4 số dương)
Tương tự [TEX]A+C\geq 4[/TEX]
=> [TEX]2A+B+C\geq 8[/TEX]
=> [TEX]A\geq 2[/TEX]

còn câu 2 nữa thì sao các bạn .Giúp mik nốt đi!!!!