[Toán 9] Chứng minh A chia hết cho 1998

[ooo_ooo_9889]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số 111,112,113,....888. Viết liền các số đó thành một số A=111112113...888.
Chứng minh A chia hết cho 1998
@minhtuyb: Chú ý cách đặt tiêu đề

 

[hthtb22]

A tận cùng bằng 8 nên A chia hết cho 2
Trước hết ta chứng minh A chia hết cho 111:
Thật vậy:
A=111112113....887888
=111+112+113+...+887+888+111.999...999+112.999...999+...+887.999
≡111+112+113+...+887+888(mod111)
Rõ ràng 111+112+113+...+887+888=(111+888)+(112+887)+...+(499+500)
=999+999+...+999
≡0(mod111)
Vậy ta được: A chia hết cho 111
Tiếp theo chứng minh A chia hết cho 27
Thật vậy:

A=111112113....887888
=111+112+113+...+887+888+111.999...999+112.999...999+...+887.999
≡111+112+113+...+887+888(mod27) (Vì 999 chia hết cho 27)
Rõ ràng 111+112+113+...+887+888=(111+888)+(112+887)+...+(499+500)
=999+999+...+999
≡0(mod27)
Vậy ta được: A chia hết cho 27

 

[minhtuyb]

SOLUTION:

Dễ thấy $A$ chẵn nên $A$ chia hết cho $2\ (1)$
*Ta sẽ chứng minh $A\vdots 999$. Thật vậy:
$A=111112...887888=111.10^{775}+112.10^{773}+...+887.10^3+888\\ =\left [ 111.(10^{775}-1)+112.(10^{773}-1)+...+887.(10^3-1)\right ]+(111+112+...+887+888)=B+C$
-Xét $B=111.(10^{775}-1)+112.(10^{773}-1)+...+887.(10^3-1)$. Dễ dàng chứng minh $10^{775}-1;10^{773}-1;...;10^3-1\vdots 999\Rightarrow B\vdots 999$
-Xét $C=111+112+...+887+888=(111+888)+(112+887)+...(499+500)=999.389\vdots 999$
Vậy $A\vdots 999\ (2)$
-Kết hợp $(1), (2)$ mà $(2;999)=1\Rightarrow A\vdots 2.999=1998\ <Q.E.D>$