[toán 9] bất đẳng thức

[blackspace]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

với x,y không âm thỏa mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX].Tìm GTNN và GTLN của [TEX]x^3+y^3[/TEX]

Nhớ gõ bài có dấu bạn nhé!

 

[blackspace]

voi mai x,y khong am thoa man [TEX]x^2+y^2=1[/TEX].Tim GTNN va GTLN cua x^3+y^3

làm dùm mình bài này nữa .Với a,b,c thỏa mãn $ a+b+c=3$ .chứng minh [TEX]a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

với x,y không âm thỏa mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX].Tìm GTNN và GTLN của [TEX]x^3+y^3[/TEX]

-GTNN:

$(x+y)(x^3+y^3) \ge (x^2+y^2)^2$ (Bunhiacopxki)
\Leftrightarrow $x^3+y^3\ge \frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}$
\Leftrightarrow $x^3+y^3 \ge \frac{1}{x+y}$

Lại có$ (1+1)(x^2+y^2) \ge (x+y)^2$ (Bunhiacopxki)
\Leftrightarrow $(x+y)^2 \le 2$
\Rightarrow $(x+y) \le \sqrt{2}$
\Rightarrow $(x^3+y^3) \ge \frac{1}{(x+y)} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$
\Rightarrow....

-GTLN:

có $x^2+y^2=1$ \Rightarrow $x^2, y^2 \le 1$ \Rightarrow $x,y \le 1$
\Rightarrow $x-1 \le$ 0 và $y-1 \le 0$
\Leftrightarrow $x^2(x-1) \le 0$ và $y^2(y-1) \le 0$
\Leftrightarrow $x^3\le x^2$ và $y^3 \le y^2$

\Leftrightarrow $x^3+y^3 \le x^2+y^2=1$
\Rightarrow... Dấu $"="$ xảy ra khi $x=0;y=1$ hoặc $x=1;y=0$

 

[1um1nhemtho1]

làm dùm mình bài này nữa .Với a,b,c thỏa mãn $ a+b+c=3$ .chứng minh [TEX]a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3[/TEX]

Chứng minh được BĐT:
$3(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
vì BĐT trên \Leftrightarrow $2a^4+2b^4+2c^4 \ge ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ac(a^2+c^2) (1)$

thật vậy chứng minh được $a^4+b^4 \ge \frac{(a^2+b^2)^2}{2} \ge ab(a^2+b^2)$
tương tự mấy cái kia rồi cộng lại \Rightarrow $(1)$ đúng
\Rightarrow $3(a^4+b^4+c^4) \ge (a+b+c)( a^3+b^3+c^3)$
\Leftrightarrow $a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3$

 

[conga222222]

làm dùm mình bài này nữa .Với a,b,c thỏa mãn $ a+b+c=3$ .chứng minh [TEX]a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3[/TEX]

$\eqalign{
& \cos i: \cr
& {a^4} + a + {a^4} \ge 3{a^3} \leftrightarrow 2{a^4} \ge 3{a^3} - a \cr
& 2{b^4} \ge 3{b^3} - b \cr
& 2{c^4} \ge 3{c^2} - c \cr
& \to 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 3\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - a - b - c \cr
& {a^3} + 1 + 1 \ge 3a \leftrightarrow {a^3} \ge 3a - 2 \cr
& {b^3} \ge 3b - 2 \cr
& {c^3} \ge 3c - 2 \cr
& \to 2\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - a - b - c \ge 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 2\left( {a + b + c} \right) - 6 = 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = 1 \cr
& \cr} $

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


Anh "conga222222" hình như nhầm rồi a,b,c chưa có đk không âm, nên chưa dùng đc Cô-si
Em có 2 cách khác, cũng ngắn
Cách 1:
Giả sử $a \ge b \ge c$
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cheybeshev,ta có:
$3(a.a^3+b.b^3+c.c^3) \ge (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
$\Longleftrightarrow 3(a^4+b^4+c^4) \ge 3(a^3+b^3+c^3)$
$\Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3$
Cách 2:
Đăt a=1+x, b=1+y thì suy ra c=1-x-y. Sau đó thay vào biểu thức ta được điều phải chứng minh
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[conga222222]

Anh "conga222222" hình như nhầm rồi a,b,c chưa có đk không âm, nên chưa dùng đc Cô-si
Em có 2 cách khác, cũng ngắn
Cách 1:
Giả sử $a \ge b \ge c$
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cheybeshev,ta có:
$3(a.a^3+b.b^3+c.c^3) \ge (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)$
$\Longleftrightarrow 3(a^4+b^4+c^4) \ge 3(a^3+b^3+c^3)$
$\Longleftrightarrow a^4+b^4+c^4 \ge a^3+b^3+c^3$
Cách 2:
Đăt a=1+x, b=1+y thì suy ra c=1-x-y. Sau đó thay vào biểu thức ta được điều phải chứng minh
(*)(*)(*)(*)(*)

không có điều kiện dương thì anh chơi trị tuyệt đối vậy:
$\eqalign{
& \cos i: \cr
& {a^4} + {a^4} + \left| a \right| \ge 3\left| {{a^3}} \right| \cr
& \left| {{a^3}} \right| + 1 + 1 \ge 3\left| a \right| \cr
& \to 2{a^4} \ge 2\left| {{a^3}} \right| + 2\left| a \right| - 2 \ge 2{a^3} + 2a - 2 \cr
& \leftrightarrow {a^4} \ge {a^3} + 2a - 2 \cr
& {b^4} \ge {b^3} + 2b - 2 \cr
& {c^4} \ge {c^3} + 2c - 2 \cr
& \to {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 2\left( {a + b + c} \right) - 6 = {a^3} + {b^3} + c \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = 1 \cr
& \cr} $
được chưa em ?
cách khác thì anh dùng bunhiacopski:
$\eqalign{
& bunhiacopski: \cr
& \left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)^2} \cr
& \left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right) \ge {\left( {{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2} + \left| {{c^2}} \right|} \right)^2} \cr
& \left( {{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2} + \left| {{c^2}} \right|} \right)\left( {1 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)^2} \cr
& \to {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {{{{\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)}^2}} \over {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} \ge {{\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)\left( {{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2} + \left| {{c^2}} \right|} \right)} \over {\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)}} \cr
& \ge {{\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)} \over 3} \ge \left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right) \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = 1 \cr} $
cách khác thì anh dùng holder:
$\eqalign{
& holder: \cr
& \left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right) \ge {\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)^3} \cr
& \left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)\left( {1 + 1 + 1} \right)\left( {1 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)^3} \cr
& \to {\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)^2} \ge {{{{\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)}^3}} \over {\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)}} \ge {{{{\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)}^2}{{\left( {\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|} \right)}^2}} \over 9} \ge {\left( {{{\left| a \right|}^3} + {{\left| b \right|}^3} + {{\left| c \right|}^3}} \right)^2} \cr
& \leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {\left| a \right|^3} + {\left| b \right|^3} + {\left| c \right|^3} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = 1 \cr} $

 

[noinhobinhyen]

vất vả quá.

Ta có $a^4-a^3-a+1 = (a-1)(a^3-1)=(a-1)^2(a^2+a+1) \geq 0 \Rightarrow a^4 \geq a^3+a-1$

tương tự ta có $b^4 \geq b^3+b-1 ; c^4 \geq c^3+c-1$

cộng các vế lại $\Rightarrow a^4+b^4+c^4 \geq a^3+b^3+c^3 +(a+b+c)-3 = a^3+b^3+c^3$