Toán [Toán 9]Bất đẳng thức

[mrsimple97ht]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho a,b,c là bà số thực dương thoả mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của P
biết[TEX] P = \frac{ab}{\sqrt{ab+2c}} +\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}} + \frac{ca}{\sqrt{ca + 2b}}[/TEX]
2, Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB = c,BC = a,CA = b. Các góc A,B,C thoả mãn C=2A + B
Chứng minh rằng[TEX] c^2 < 2a^2 + b^2[/TEX]

~~> Chú ý latex

 

[luckystudent97]

Bài 1 thử dùng phương pháp điểm rơi Cô-si xem, mình giải được kết quả là max P=1 [TEX]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}[/TEX]
Đúng thì thank nha

Mod: Nói rõ ràng nha nha bạn cho dù mình biết làm rồi1!

 

[celebi97]

Thay 2 bằng a+b+c vào biểu thức là thấy liền đó mà!
Đáp số là như Lucky viết! 2 phần 3!

 

[bboy114crew]

1,Cho a,b,c là bà số thực dương thoả mãn a+b+c =2. Tìm GTLN của P
biết P = ab/căn ( ab+2c ) +bc/căn ( bc+2a ) + ca/ căn ( ca + 2b )
2, Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB = c,BC = a,CA = b. Các góc A,B,C thoả mãn C=2A + B
Chứng minh rằng c^2 < 2a^2 + b^2

Bài 1:
Ta có:
[TEX]P= \sum \frac{ab}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}} = \sum \frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}[/TEX](Do [TEX] a+b+c =2[/TEX])
Theo AM-GM ta có :
[TEX]P \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

2, Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB = c,BC = a,CA = b. Các góc A,B,C thoả mãn C=2A + B
Chứng minh rằng c^2 < 2a^2 + b^2

từ [TEX]C=2A+B \Rightarrow a^2=c^2-bc ; c>b \Rightarrow dpcm[/TEX]

đề hsg tỉnh mình năm ngoái

Mod: Gõ latex nha em!

 

[thienlong_cuong]

Bài 1:
Ta có:
[TEX]P= \sum \frac{ab}{ab+c(a+b+c)} = \sum \frac{ab}{(c+a)(c+b)}[/TEX](Do [TEX] a+b+c =2[/TEX])
Theo AM-GM ta có :
[TEX]P \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]

Ko biết làm thế nào mà nó lại loạn lên thế này !? Sorry anh nhé

ANh ơi ! Nhưng ở đây đề ra có căn mà !?(nếu có căn thì khác chớ)

 

[asroma11235]

Để ý giả thiết, ta có biến đổi sau:
[TEX]ab+2c=ab+ac+bc+c^2=(b+c)(a+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P = \sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}[/TEX]
Sử dụng AM-GM:
[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}} \leq \sum_{sym} \frac{1}{2}(\frac{ab}{b+c}+ \frac{ab}{a+c})= \frac{a+b+c}{2}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=2/3[/TEX]

 

[bboy114crew]

Ko biết làm thế nào mà nó lại loạn lên thế này !? Sorry anh nhé

ANh ơi ! Nhưng ở đây đề ra có căn mà !?(nếu có căn thì khác chớ)

Để ý giả thiết, ta có biến đổi sau:
[TEX]ab+2c=ab+ac+bc+c^2=(b+c)(a+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P = \sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}[/TEX]
Sử dụng AM-GM:
[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}} \leq \sum_{sym} \frac{1}{2}(\frac{ab}{b+c}+ \frac{ab}{a+c})= \frac{a+b+c}{2}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=2/3[/TEX]

Anh sửa lại rồi viết thiếu dấu căn phần còn lại giống hệt như bạn này!

 

[mrsimple97ht]

Bất đẳng thức

cảm ơn mọi người nhiều nha, còn một bài hình nữa thôi. Hic, đề thi học sinh giỏi của bọn em

 

[ADD02]

??

Để ý giả thiết, ta có biến đổi sau:
[TEX]ab+2c=ab+ac+bc+c^2=(b+c)(a+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P = \sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}}[/TEX]
Sử dụng AM-GM:
[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab}{\sqrt{(b+c)(a+c)}} \leq \sum_{sym} \frac{1}{2}(\frac{ab}{b+c}+ \frac{ab}{a+c})= \frac{a+b+c}{2}=1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=2/3[/TEX]

sao Cosi dùng thế kia???

 

[Meoconbgbg]

Bài 1:
Ta có:
[TEX]P= \sum \frac{ab}{\sqrt{ab+c(a+b+c)}} = \sum \frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}[/TEX](Do [TEX] a+b+c =2[/TEX])
Theo AM-GM ta có :
[TEX]P \leq \sum \frac{1}{2}(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]

em hỏi tí
bọn em chưa học cái tổ hợp kia ạ
em tách ra thành <= 1/2( a^2/c+a +b^2/c+b +b^2/a+b + c^2/a+c + c^2/b+c +a^2/b+a) rồi ạ
rồi làm thế nào được 3/2 ạ?

 

[mbappe2k5]

em hỏi tí
bọn em chưa học cái tổ hợp kia ạ
em tách ra thành <= 1/2( a^2/c+a +b^2/c+b +b^2/a+b + c^2/a+c + c^2/b+c +a^2/b+a) rồi ạ
rồi làm thế nào được 3/2 ạ?

Bạn phải bỏ hết mũ 2 ở trên tử thì mới đúng nhé. Và sau đó cộng các phân thức cùng mẫu thức là xong thôi.

 

[Meoconbgbg]

Bạn phải bỏ hết mũ 2 ở trên tử thì mới đúng nhé. Và sau đó cộng các phân thức cùng mẫu thức là xong thôi.

thế nào ạ?

 

[mbappe2k5]

thế nào ạ?

Tức là [tex]P\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c})=\frac{3}{2}[/tex].
Bạn động não lên đi nhé, học Toán không thể cứ trông chờ vào người khác thế này được.

 

[Meoconbgbg]

Tức là [tex]P\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c})=\frac{3}{2}[/tex].
Bạn động não lên đi nhé, học Toán không thể cứ trông chờ vào người khác thế này được.

vâng, mk nhầm thành có bình phương