[Toán 9] Bất đẳng thức trong tam giác

[lanhnevergivesup]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp mình với nha
Chứng minh rằng: Nếu a,b,c là độ giải ba cạnh của một tam giác thì :
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leqabc . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cảm ơn mọi người nhá

 

[eye_smile]

Đặt $x = a + b - c;y = b + c - a;z = c + a - b$
Ta có: Do $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác nên AD BĐT AM-GM cho số dương
$\sqrt {xy} \le \dfrac{{x + y}}{2} = b \to xy \le {b^2}$
$\sqrt {yz} \le \dfrac{{y + z}}{2} = c \to yz \le {c^2}$
$\sqrt {zx} \le \dfrac{{z + x}}{2} = a \to zx \le {a^2}$
$ \to {\left( {xyz} \right)^2} \le {\left( {abc} \right)^2}$
$ \leftrightarrow xyz \le abc\left( {dpcm} \right)$
Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y \\
y = z \\
z = x \\
\end{array} \right. \leftrightarrow x = y = z \leftrightarrow a = b = c$