Toán [Toán 9] bất đẳng thức(3)

[mua_sao_bang_98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Update topic mới.

Hoạt động bình thường.
Link dẫn tới topic cũ tại đây và tại đây

Bất Đẳng Thức​

Topic lập ra cho member năm nay thi luyện BĐT-CT, thường thì BĐT-CT trong các kỳ thi vào lớp 10 chuyên thường khá dễ, tuy nhiên cũng không ít bài bài cần đến sự tinh tế trong lối suy nghĩ mới có thể đưa ra 1 lời giải gọn, đẹp mà không dùng kiến thức quá cao. Đề nghị không đưa lên những BĐT quá xa vời, không phù hợp với mức độ thi vào lớp 10 chuyên.

 

[bboy114crew]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) [tex](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac[/tex]
(2) [tex](a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac[/tex]
(3) [tex](a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc[/tex]
(4) [tex]a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a + b)[/tex]
(5) [tex]a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)[/tex]
(6) [tex] (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)[/tex]
(7) [tex] (a + b + c)^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)[/tex]
(8) [tex](a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)[/tex]
(9) [tex](a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2[/tex]
(10) [tex] (a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc[/tex]
(11) [tex] ab^2+bc^2+ca^2 - a^2b - b^2c - c^2a = \frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} [/tex]
(12)[tex] ab^3+bc^3+ca^3 - a^3b-b^3c-c^3a = \frac{(a+b+c)[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3]}{3}[/tex]
(13) [tex]a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + ... + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )[/tex]
(14) Với n lẻ:
[tex]a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 - ... + a^2b^{n - 3} - ab^{n - 2} + b^{n - 1})[/tex]
(15) Nhị thức Newton:
[tex](a + b)^n = a^n + \frac{n!}{(n-1)!1!} a^{n - 1}b + \frac{n!}{(n-2)!2!}a^{n - 2}b^2 + ... + \frac{n!}{(n-k)!k!}a^{n - k}b^k+ ... + \frac{n!}{2!(n-2)!}a^2b^{n - 2}+\frac{n)!}{1!(n - 1)!}ab^{n - 1} + b^n[/tex]
(16)[tex](a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2[/tex]

(17)[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}=\sum _{sym} \frac{(a-b)^2}{2(c+a)(b+c)}[/tex]
(18)[TEX](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc [/TEX]
(19)[tex]ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}[/tex]
(20)[tex]ab^3+bc^3+ca^3-a^3b-b^3c-c^3a=\frac{a+b+c}{3}((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3)[/tex]
(21)[tex]a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2][/tex]
(22)[tex]a^2 + b^2 + c^2 - \frac{1}{3}(a+b+c)^{2} = \frac{1}{3}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2][/tex]
(23)[tex]\frac{{1 + ab}}{{a - b}}.\frac{{1 + bc}}{{b - c}} + \frac{{1 + bc}}{{b - c}}.\frac{{1 + ca}}{{c - a}} + \frac{{1 + ca}}{{c - a}}.\frac{{1 + ab}}{{a - b}} = 1[/tex]

(24)[tex]\frac{{ab}}{{(c - a)(c - b)}} + \frac{{bc}}{{(b - a)(b - a)}} + \frac{{ca}}{{(c - b)(c - a)}} = 1[/tex]

(25)[tex]\frac{{a + b}}{{a - b}}.\frac{{b + c}}{{b - c}} + \frac{{b + c}}{{b - c}}.\frac{{c + a}}{{c - a}} + \frac{{c + a}}{{c - a}}.\frac{{a + b}}{{a - b}} = - 1[/tex]
Các bạn hãy cố gắng chứng minh các hằng đẳng thức từ (1) -> (25) xem như là bài tập
Ai có hằng đẳng thức nào thú vị, post lên m“nh sẽ thêm vào.
Nguồn VMF!

 

[bboy114crew]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

mấy cái này ko bít phải hằng đẳng thức ko?
[tex]1^3+2^3+3^3+.....n^3=(1+2+3+...+n)^2[/tex]
[tex]1*2+2*3+3*4+4*5+....+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
[tex]1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
[tex]1.n+2(n-1)+3(n-2)+.....+n.1=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/tex]


(20)[tex]ab^3+bc^3+ca^3-a^3b-b^3c-c^3a=\frac{a+b+c}{3}((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3)[/tex]

ai chứng minh được cái số 20 ko ?
giúp mình với!

mình mới kiếm được 2 cái này nữa:
(26)[tex]{a^3} + {b^3} + {c^3} - {a^2}b - {b^2}c - {c^2}a = \frac{{(2a + b){{(a - b)}^2} + (2b + c){{(b - c)}^2} + (2c + a){{(a - c)}^2}}}{3}[/tex]
(27)[tex]{a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^3}b - {b^3}c - {c^3}a = \frac{{(3{a^2} + 2ab + {b^2}){{(a - b)}^2} + (3{b^2} + 2bc + {c^2}){{(b - c)}^2} + (3{c^2} + 2ac + {a^2}){{(a - c)}^2}}}{4}[/tex]

Ngoài những hằng đẳng thức cơ bản trong sgk, còn có những hằng đẳng thức hay được sử dụng trong các bài toán như sau:

(1) [tex](a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac[/tex]
(2) [tex](a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac[/tex]
(3) [tex](a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc[/tex]

cái này nghe có vẻ tổng quát hơn thì phải!
[tex](a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+2a_1.a_2+....+2a_{n-1}.a_n[/tex]

 

[bigbang195]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

(20)[tex]ab^3+bc^3+ca^3-a^3b-b^3c-c^3a=\frac{a+b+c}{3}((a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3)[/tex]

ai chứng minh được cái số 20 ko ?
giúp mình với!

a=b thì nó bằng =0, b=c thì nó cũng =0, a=c thì nó cũng =0, a+b=-c nó cũng bằng =0

nên nó có nhân tử [TEX](a-b) , (b-c), (c-a) [/TEX]và [TEX](a+b+c)[/TEX]

hay có dạng [TEX]Q(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)[/TEX]

bậc 4 rồi nên [TEX]Q=const[/TEX]

dễ tìm đc [TEX]Q=1[/TEX] và [TEX](a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}[/TEX]

ta có điều phải chứng minh

 

[01263812493]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

a=b thì nó bằng =0, b=c thì nó cũng =0, a=c thì nó cũng =0, a+b=-c nó cũng bằng =0

nên nó có nhân tử [TEX](a-b) , (b-c), (c-a) [/TEX]và [TEX](a+b+c)[/TEX]

hay có dạng [TEX]Q(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)[/TEX]

bậc 4 rồi nên [TEX]Q=const[/TEX]

dễ tìm đc [TEX]Q=1[/TEX] và [TEX](a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3}[/TEX]

ta có điều phải chứng minh

Cái này chắc được hé anh
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử, ta được:
[TEX]ab^3+bc^3+ca^3-a^3b-b^3c-c^3a=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)[/TEX]
Giống như anh nói:
[TEX](a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}{3} \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[01263812493]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

ý mình là ý tưởng của bạn là gì khi giải bài toán này!

Mình nghĩ đầu tiên là phân tích thành nhân tử xem có điểm gì đặc biệt không nếu không thì làm cách khác.
P/s: những câu hỏi này bn có thể vào nhà mình hỏi nếu ko mình sẽ bị phê bình

 

[spotlight]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

hằng đẳng thức này được áp dụng không cần chứng minh nữa đúng không anh chị?
hằng đẳng tyhức 24 hình như sai rồi thì phải, thấy không có quy luật,anh chị xem lại zùm?
[ab/(a-b)(a-c)]+[bc/(b-c)(b-a)]+[ca/(c-a)(c-b)]=1 chứ???

 

[01263812493]

[Toán 9] Các hằng đẳng thức đáng nhớ và cần nhớ!

Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc+\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}[/TEX]

Đây là đề trường Phan_Vinh.Đây là cách của t ko biết thế nào!Cho ý kiến nha!
Chia cả 2 vế của BĐT cho abc
[TEX]VT=\sqrt{\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^4bc+ab^4c+abc^4+3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}\\=\sqrt{\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+3}\\VP=1+\sqrt[3]{\frac{a^4b^4c+ab^4c^4+a^4bc^4+a^5b^2c^2+a^2b^5c^2+a^2b^2c^5+2a^3b^3c^3}{a^3b^3c^3}[/TEX]
[TEX]=1+\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+2}[/TEX]
Đặt:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+2}=x \geq 2(cosi)\\\Rightarrow VT=\sqrt{x^3+1}[/TEX]
Ta cần c/m
[TEX]\sqrt{x^3+1} \geq x+1\\\Leftrightarrow x(x-2)(x+1) \geq 0(ok!)\\\Rightarrow dpcm[/TEX]
OK?

Từ 1 bài tập mà mem 8 làm tui mới thấy 1 cái hằng đẳng thức nữa:
[tex]\blue (a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)+a^2b^2c^2[/tex]

Cũng hay hay

 

[nghgh97]

[Toán 9] Chứng minh ${S_n} < \dfrac{1}{2}$

Với số tự nhiên n, $n \geq 3$, đặt:
$${S_n} = \dfrac{1}{{3(1 + \sqrt 2 )}} + \dfrac{1}{{5(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}} + ... + \dfrac{1}{{(2n + 1)(\sqrt n + \sqrt {n + 1} )}}$$
Chứng minh rằng: ${S_n} < \dfrac{1}{2}$

 

[vngocvien97]

[Toán 9] Tổng hợp BĐT và cực trị

cmr:$$\sum\sqrt[]{\frac{cosA.cosB}{cosC}} >2$$
Trong đó $A,B,C$ là 3 góc trong 1 tam giác
P/s:Bất đẳng thức này hay đấy,các bạn cùng làm nhé!

 

[tuankp3]

[Toán 9] CM Bất đẳng thức

Cho a,b,c là các số không âm t/m : $a+b+c=1006$. C/M:
$\sqrt[]{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}}+\sqrt[]{2012b+\dfrac{(c-a)^2}{2}}+\sqrt[]{2012c+\dfrac{(a-b)^2}{2}} \leq 2012\sqrt[]{2}$

Thank nhìu

chú ý cách đặt tiêu đề
bạn để công thức trong thẻ $ $ sẽ đẹp hơn

 

[thangnhoc9x]

[Toán 9] CM a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác

cho x,y,z thoa man xy+yz+zx=0.dat
$$\sqrt[2]{x^2+xy+y^2}=a \\
\sqrt[2]{x^2+xz+z^2}=b \\
\sqrt[2]{z^2+y^2+zx}=c $$
cm a,b,c ko la do dai 3 canh cua mot tam giac

chú ý cách đặt tiêu đề + bài viết phải có dấu + latex

 

[maruco369]

giúp mình bài này với

câu 1: cho [TEX]a \geq \frac{-1}{2},\frac{a}{b}>1 [/TEX] CMR
[TEX]\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3[/TEX]
Câu 2: x+y[TEX]\geq[/TEX]0 CMR:
[TEX] \frac{1}{1+9^x}+\frac{1}{1+9^y} \geq [/TEX] 2/(1+ 3^(x+y))
Câu 3: a,b,c [TEX]\geq[/TEX] 1 CMR
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{1+abc}[/TEX]
Câu 4: biết [TEX]a^5-a^3+a=2[/TEX] (a>0)
cmr : 3<a^6<4
Câu 5: a, CMR: 300!>100^300
b, [TEX]1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{n^3} < \frac{11}{9}[/TEX]
Câu 6: cho a,b,p,q,r,s thuộc số tự nhiên thỏa mãn: qr-ps=1 và [TEX]\frac{p}{q}<\frac{a}{b}<\frac{r}{s}[/TEX] :
CMR: b [TEX]\geq[/TEX]

 

[pdung_98]

Giúp mình bài bất đẳng thức

câu 1: cho a,b,c[TEX]\geq[/TEX]0, CMR
[TEX](\frac{a+2b+3c}{6})^2\geq ab^2c^3[/TEX]
Câu 2: CMR nếu [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] thì [TEX]x^2\leq 1+a^2+b^2+c^2[/TEX]
Câu 3:CMR nếu [TEX](x+y)^2+(x+a)^2+(y+b)^2=c^2[/TEX] thì [TEX](a+b)^2\leq3c^2[/TEX]
Câu 4: cho [TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\[/TEX]=1 với mọi a,c,b >0
CMR: x+y+z [TEX]\geq(\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b}+\sqrt[2]{c})^2 [/TEX]

 

[maruco369]

[Toán 9] cho a thay đổi $-1\leq a\leq 1$. Tìm max của b sao cho bdt sau luôn đúng

Câu 3: cho a thay đổi thỏa mãn: -1 nhỏ hơn hoặc bằng a nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tìm max của b sao cho bdt sau luôn đúng
[TEX]2\sqrt{1-a^{4}}+(b-1)(\sqrt{1+a^{2}}-\sqrt{1-a^{2}})+b-4\leq 0[/TEX]
Câu 4: cho[TEX] 0\leq x,y,z\leq 2[/TEX] và x+y+z=3. Tìm min, max
M=[TEX]x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

[Toán 9] Chứng minh ${S_n} < \dfrac{1}{2}$

Với số tự nhiên n, $n \geq 3$, đặt:
$${S_n} = \dfrac{1}{{3(1 + \sqrt 2 )}} + \dfrac{1}{{5(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}} + ... + \dfrac{1}{{(2n + 1)(\sqrt n + \sqrt {n + 1} )}}$$
Chứng minh rằng: ${S_n} < \dfrac{1}{2}$

có : [TEX]\frac{1}{(2n+1)(\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n+1})} = \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{(2n+1)(\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n+1})(\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n})} = \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{(2n+1)(n+1-n)}= \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2n+1}[/TEX].
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm n và n+1 ta có:
[TEX]n+(n+1) \geq 2\sqrt[]{n(n+1)}[/TEX] => [TEX]2n+1 \geq 2\sqrt[]{n(n+1)}[/TEX]
=> [TEX]\frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2n+1} \leq \frac{\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}}{2\sqrt[]{n(n+1)}}= \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[]{n}}-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}})[/TEX]
=> [TEX]{S_n} \leq \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt[]{n+1}}) < \frac{1}{2}[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzz

Câu 2: x+y[TEX]\geq[/TEX]0 CMR:
[TEX] \frac{1}{1+9^x}+\frac{1}{1+9^y} \geq [/TEX] [TEX]\frac{2}{1+3^{x+y}}[/TEX]

đặt [TEX]3^x=a[/TEX] ; [TEX]3^y=b[/TEX] [TEX](a,b > 0)[/TEX] => [TEX]a.b=3^x.3^y = 3^{x+y} \geq 3^0=1[/TEX].
BĐT quy về chứng minh : [TEX]\frac{1}{1+a^2}+ \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX] với [TEX]a,b > 0 ; ab \geq 1[/TEX].
BĐT trên Đúng vì nó tương đương: [TEX]\frac{(b-a)^2(ab-1)}{(1+ab)(1+a^2)(1+b^2)} \geq 0[/TEX].
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b[/TEX] hoặc [TEX]ab=1[/TEX] <=> [TEX]x=y[/TEX] hoặc[TEX]x+y=0[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzz

Câu 3: a,b,c [TEX]\geq[/TEX] 1 CMR
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{1+abc}[/TEX]

Có [TEX]a,b \geq 1 => ab \geq 1[/TEX]. Nên ta có BĐT:

[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/TEX]
Lại có : [TEX]c \geq 1 => abc \geq ab => \frac{2}{1+ab} \geq \frac{2}{1+abc}[/TEX].
Nên [TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+abc}[/TEX] (1)
tương tự có [TEX]\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{2}{1+abc}[/TEX] (2)
[TEX]\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2} \geq \frac{2}{1+abc}[/TEX] (3)
cộng (1), (2) và (3) vế theo vế => ĐPCM, dấu '=" xảy ra <=>[TEX] a=b=c=1[/TEX]

 

[nddhung99]

bđt có chứa dấu giá trị tuyệt đối

giải giúp mình 2 bài này với
1.tìm GTNN của B = 5|x| - 3|y| với 4x + 5y = 7
2. cho |x1 - x2| + |x2 - x3| + |x3 - x4| + |x4- x5| = 5
và y(k) = (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)/k
tìm GTNN của C = |y1 - y2| + |y2 - y3| + |y3 - y4| + |y4 - y5|


p/s:e ít dùng hocmai nên hông biết dùng công thức, viết bình thường nên hơi khó đọc :v :Mrofl:

 

[vipboycodon]

câu 1: cho [TEX]a \geq \frac{-1}{2},\frac{a}{b}>1 [/TEX] CMR
[TEX]\frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\geq 3[/TEX]

Theo bất đẳng thức AM - GM ta có : $4b(a-b) \le (b+a-b)^2 = a^2$
=> $\dfrac{2a^3+1}{4b(a-b)} \ge \dfrac{2a^3+1}{a^2} = 2a+\dfrac{1}{a^2} = a+a+\dfrac{1}{a^2} \ge 3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} b = a-b \\ a = \dfrac{1}{a^2} \end{cases}$ <=> $\begin{cases} \dfrac{a}{2} = b \\ a^3 = 1 \end{cases}$ <=> $a = 1$ , $b = \dfrac{1}{2}$