toán 9: bài trả lời của các bạn

[silvery21]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

dưới đây là câu trả lời của các bạn lớp 9

nhận xét . tuy sắp thi nhưng các em tham gia trả lời rất nhiệt tình )

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10

1,tính tổng:
[TEX]A=1.2+2.5+......+n(3n-1)[/TEX]
Ta chứng minh [TEX]A=n^2(n+1) (1)[/TEX]
Với [TEX]n=1 \Rightarrow A=1.2=1^2(1+1)[/TEX]
Vậy với n=1 thì (1) đúng
Giả sử (1) đúng với n=k hay:
[TEX]A=1.2+2.5+.....+k(3k-1) =k^2(k+1)[/TEX]
ta chứng minh (1) cũng đúng khi n=k+1
hay [TEX]A=1.2+2.5+......+k(3k-1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)^2(k+2)[/TEX]
Thật vậy ,ta có:
[TEX]A=1.2+2.5+....+k(3k-1)+(k+1)(3k+2) [/TEX]
[TEX]=k^2(k+1)+(k+1)(3k+2)=(k+1)(k^2+3k+2)=(k+1)^2(k+2) \Rightarrow đpcm[/TEX]
Vậy [TEX]A=n^2(n+1)[/TEX]

2, Chứng minh : [TEX]\frac{21n+4}{14n+3} (n\in N)[/TEX] là phân số tối giản
tức là ta chứng minh [TEX](21n+4;14n+3)=1[/TEX]
Gọi ƯCLN (21n+4;14n+3) là d ( d là số tự nhiên)
[TEX] \Rightarrow 21n+4=d.k (k\in N*)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 14n+3 =d.h (h\in N*)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow d(k-h) =21n+4-(14n+3)=7n+1[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 3d(k-h)=21n+3[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 21n+4-(21n+3)=d.k-3d(k-h) \Leftrightarrow 1=d(k-3k+3h) \Leftrightarrow 1=d(3h-2k)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow d=3h-2k=1 \Rightarrow (21n+4;14n+3)=1 [/TEX]
phân số [TEX]\frac{21n+4}{14n+3} [/TEX] là phân số tối giản mọi số tự nhiên n

3,Tìm số nguyên x,y thoả mãn:
[TEX]x^2y^2-x^2-8y^2=2xy[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2y^2-x^2-8y^2+x^2+y^2=x^2+2xy+y^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow y^2(x^2-7)=(x+y)^2[/TEX]
[TEX]y=0 \Rightarrow x=0[/TEX]
hoặc [TEX] \Rightarrow x^2-7 [/TEX] là số chính phương
[TEX] \Rightarrow x^2-7=a^2 (a\in Z) [/TEX]
[TEX] \Rightarrow (x-a)(x+a)=7 =\pm1.\pm7[/TEX]
(+) [TEX]\left{\begin {x-a=1}\\{x+a=7} \Rightarrow x=4[/TEX]
(+) [TEX] \left {\begin {x-a=-1}\\{x+a=-7} \Rightarrow x=-4[/TEX]
(+) [TEX] \left {\begin {x-a=7}\\{x+a=1} \Rightarrow x=4[/TEX]
(+) [TEX] \left{\begin {x-a=-7}\\{x+a=-1} \Rightarrow x=-4[/TEX]

(-) [TEX]x=4 \Rightarrow y^2(4^2-7)=(4+y)^2 \Leftrightarrow 9y^2=16+8y+y^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow y^2-y-2=0 \Rightarrow \left[\begin{y=2}\\{y=-1}[/TEX]
(-) [TEX]x=-4 \Rightarrow 9y^2=y^2-8y+16 \Leftrightarrow y^2+y-2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{y=-2}\\{y=1} [/TEX]
Vậy nghiệm phương trình là:
(x;y)={(4;2);(4;-1);(-4;-2);(-4;1);(0;0)}

4, Tìm các số nguyên x,y,z,t thoả mãn:
[TEX]x^2+y^2+z^2+t^2=x(y+z+t)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (\frac{x^2}{4}-xy+y^2)+(\frac{x^2}{4}-xz+z^2)+(\frac{x^2}{4}-xt+t^2)+\frac{x^2}{4}=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (\frac{x}{2}-y)^2+(\frac{x}{2}-z)^2+(\frac{x}{2}-t)^2+\frac{x^2}{4}=0[/TEX]
[TEX]\left{\begin{x=0}\\{\frac{x}{2}=y}\\{\frac{x}{2}=z}\\{\frac{x}{2}=t} \Rightarrow x=y=z=t=0[/TEX]
Vậy nghiệm phương trình:
[TEX] (x;y;z;t)=(0;0;0;0)[/TEX]

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10.

mấy hum nay em bận ôn thi nên nộp bài hơi muộn mong các anh chị thông cảm nha'

phần 1:
1) Ta có : n(3n-1)= [TEX]3n^2-n[/TEX]
Theo phương pháp quy nạp suy ra:
A=[TEX]3(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)[/TEX]
Mà [TEX]1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX] và[TEX] 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
Suy ra [TEX]A=3.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}=n^2(n+1)[/TEX]

2)Giả sử (21n+4,14n+3)=d(d 1)
Ta có : [TEX] \left{\begin{21n+4 \vdots d}\\{14n+3 \vdots d } [/TEX]
[TEX] \Rightarrow\left{\begin{2(21n+4)\vdots d}\\{3(14n+3) \vdots d } [/TEX]
[TEX]\Rightarrow3(14n+3)-2(21n+4)\vdots d [/TEX]
d=1
đfcm

3)Ta có:[TEX]x^2y^2-x^2-8y^2=2xy[/TEX]
[TEX]x^2y^2-7y^2 =x^2+2xy+y^2[/TEX]
[TEX]y^2(x^2-7)=(x+y)^2[/TEX]
Dễ thấy phương trình có nghiệm x=y=0
Xét x,y khác 0
Khi đó [TEX] x^2-7 [/TEX] là số chính phương
Đặt [TEX] x^2-7 =a^2[/TEX]
(x+a)(x-a)=7.Mà x,a là các số nguyên và 7=1.7=-1.-7
Suy ra pt còn có các nghiệm (4;-1),(4;2),(-4;2),(-4;1)
Vậy py có các nghiệm là (4;-1),(4;2),(-4;2),(-4;1),(0;0)


4)ta có: [TEX]x^2+y^2+z^2+t^2=x(y+z+t)[/TEX]
[TEX]4(x^2+y^2+z^2+t^2)=4x(y+z+t)[/TEX]
[TEX] x^2+(x-2y)^2 +(x-2z)^2+(x-2t)^2 =0 [/TEX]
Mà [TEX] x^2;(x-2y)^2 ;(x-2z)^2; (x-2t)^2\geq 0 [/TEX]
suy ra [TEX] x^2=(x-2y)^2 =(x-2z)^2=(x-2t)^2=0 [/TEX]
x=y=z=t=0
Vậy x=y=z=t=0

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10

e mới làm đc bài 1,4 thui
1) A=1.2 + 2.5 + 3.8 + ....+ n( 3n-1)
[TEX]A=1.(3.1-1)+2(2.3-1)+3(3.3-1)+..+n(3.n-1)[/TEX]
[TEX]=3.1+3.4+3.9+...+3n^2-(1+2+3+..+n)[/TEX]
[TEX]=3(1^2+2^2+3^3+...+n^2)-(1+2+3+...+n)[/TEX]
ta có [TEX]1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}[/TEX](cái nì phải CM ko chị?
tiếp [TEX]1^2+2^2+...+n^2[/TEX]
có

4)[TEX]x^2 + y^2 +z^2 + t^2 = x( y+z+t)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{x}{2}-y)^2+(\frac{x}{2}-z)^2+(\frac{x}{2}-t)^2+\frac{x^2}{4}=0[/TEX]
[TEX]\left[\begin{\frac{x}{2}=y} \\ {\frac{x}{2}=z}\\{\frac{x}{2}=t}\\{\frac{x^2}{4}=0}[/TEX]
[TEX]x=y=z=0[/TEX]

c2
[TEX]\frac{21n+4}{14n+3}[/TEX]
gọi d là UCLN của tử và mẫu[TEX](d\in Z)[/TEX]
[TEX]21n+4\vdots d,14n+3\vdots d[/TEX]
h ta cần CM [TEX]d\in U_{(1)}[/TEX]

câu 3: tìm cặp số nguyên x, y thoả mãn:[TEX] x^2y^2 - x^2 - 8y^2 = 2xy[/TEX]

với x,y=0 ta đc PT đúng(1)

với x khác 0ta có

[TEX]\left[\begin{\left{\begin{x-a=1;7}\\{x+a=7;1}}}\\{\left{\begin{x-a=-1;-7}\\{x+a=-7;-1}}[/TEX]
giải từng trường hợp trên ta đc
[TEX]x=\pm 4[/TEX]
thay vào PT ta đc [TEX]y=\pm 2;\pm 1[/TEX]
thay x;y vào ta loại 2 TH(x,y)=(-4;2),(-4;-1);(4;-2);(4;1)
vậy (x;y)=(4;2),(4;-1);(-4;-2);(-4;1).....................(2)
từ(1),(2) ta có
[TEX](x;y)=(0;0);(4;2);(4;-1);(-4;-2);(-4;1)[/TEX]

?

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10

http://img708.imageshack.us/img708/3964/clipimage002g.gif

câu 1

câu 2 :

câu 3 :

vậy pt có nghiệm nguyên x=4,y=2 hoặc x=4,y=-1

x=-4,y=1 hoặc x=-4,y=-2

câu 4

x=y=z=t=0 là do x =0 nên kéo theo y,z,t cũng =0

 

[silvery21]

nhận xét ; trình bày rất đẹp ;

nhưng riêng phần cuối câu 3 thiếu TH ...

điểm 9,25

[TEX]\blue \mathbb{ONE}[/TEX]

Công thức tổng quát là

[TEX]\blue \mathbb{TWO}[/TEX]

Giả sử phân số rút gọn được cho d

thì ta có

do vậy phân số đó tối giản với mọi

.

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10

Câu 1 : A= n^2 (n+1) ( ko cần giải thích đâu nhỉ)
Câu 2: Gọi ƯCLN của ( 21n+4 và 14n+3) = d ( d thuộc N*)
Ta có : 3(14n+3) - 2(21n+4) chia hết cho d
=> 42n +9 - 42n - 8 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d=1
=> (21n+4 , 14n+3) =1
Vậy (21n+4)/(14n+3) là phân số tối giản ( ĐPCM)

Câu 3 : x^2.y^2 - x^2 - 8.y^2 = 2xy
<=> y^2 (x^2-8) - 2xy - x^2 = 0
Delta = 4x^2 + 4x^2 (x^2 -8)
= 4x^2 ( x^2-7) 0
Với x=0 => Delta = 0 => y = 0
Với x khác 0 => Delta > 0 => y1 = -(-2x + căn Delta) / 2(x^2-8)
y2 = (2x + căn Delta) / 2(x^2-8)
Ta có căn Delta = 2x.căn (x^2-7)
vì x,y nguyên nên căn (x^2-7) nguyên
hay x^2-7 = a^2
<=> (x-a) (x+a)=7
Nhân thấy x-a < x+a => x-a=1 , x+a =7 => x=4 , a= 3
x-a = -7 , x+a =-1 => x= - 4 , a=3
=> x =4 thì y =-1 và y= 2
x= -4 thì y = -2 và y=1
Vậy PT có 5 cặp nghiệm là x=y=0 ,
x=4 ; y=-1
x=4 ; y = 2
x=- 4 ; y= -2
x =- 4 ; y= 1

Câu 4 : Ta có : x^2+y ^2+z^2+t^2 = x(y+z+t)
<=> 4(x^2+y ^2+z^2+t^2) =4 (xy+xz+xt)
<=> (x-2y)^2 + (x-2z)^2 + (x-2t)^2 + x^2 =0
=> x=y=z=t=0
Vậy PT có 1 cặp nghiệm là x=y=z=t=0

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

điểm 10

bài 1 :


A= 1.2 +2.5+3.8+..+n(3n-1)

A= 1.3-2+2.6-2+3.9-3+...+3[TEX]n^2[/TEX] - n

A= 1.3+2.6+3.9+...+3n^2 -( 1+2+...+n)

A=3( 1+2^2+3^2+ ...+n^2) - n(n+1)/2

A= 3n(n+1)(2n+1)/6 - n(n+1)/2

A= n^2(n+1)



bài 2


[TEX]\frac{21n+4}{14n+3}[/TEX]


Gọi d là UC (21n+4, 14n+3)

ta có 21n+4 \vdots d

14n +3 \vdots d

3(14n+3)- 2(21n+4) \vdots d

1 \vdots d

d là Uoc cua 1 d = 1; -1

\frac{21n+4}{14n+3} là phân số tối giản


bài 3


x^2y^2 - x^2 - 8y^2 = 2xy

x^2y^2 - 7y^2 = x^2+2xy+ y^2

y^2(x^2 - 7 ) = (x+y)^2

(x^2 - 7 ) 0

đặt x^2 -7 = n

ta có x^2 - n =7

(x - \sqrt {n} ) ( x+ \sqrt {n} ) = 7

xet 3 truong hop :

Th1 (x - \sqrt {n} )=1
( x+ \sqrt {n} )=7
x= 4 nên y= 2 hoặc y =-1

Th2 (x - \sqrt {n} )=-1

( x+ \sqrt {n} )= -7

x= -4 nên y= -2 hoặc y= 1


Th 3 : x^2 - 7= 0 loại vì x= \sqrt{7} hoặc x= - \sqrt {7} vô tỉ

ta xét y^2(x^2 - 7 ) = (x+y)^2= 0

y= x= 0



Vậy pt có 5 cặp nghiệm nguyên là :


( x;y)= ( 4;2) ;(4;-1) ;(-4 ;-2);(-4;1);(0;0)


bài 4


x^2 + y^2 +z^2 + t^2 = x( y+z+t )

x^2 + y^2 +z^2 + t^2 - xy -xz -xt =0

( y+ \frac{x}{2})^2 + ( z+ \frac{x}{2})^2

+(t+\frac{x}{2})^2 + \frac{x^2}{2} = 0

x=y=z=t=0

 

[silvery21]

nhận xét :bài 3 chưa chuẩn ; đã có nhận xét đúng nhưng lại thử

điểm 8, 5

Em làm hơi muộn ^.^

1. [TEX]S=n^2(n+1)[/TEX]

2. [TEX] Gọi d là ƯCLN của 21n+4 và 14n+3 Gỉa sử phân số chưa tối giản thì ta có 21n+4+14n+3 chia hết cho d 21n+4-14n-3 chia hết cho d =>35n+7 chia hết cho d 7n+1 chia hết cho d=>35n+5 chia hết cho d Từ hai ý trên suy ra 2 chia hết cho d=>d=2 hoặc 1 Với d=1: phân số tối giản Với d=2: thì 21n+4 và 14n+3 đồng thời chia hết cho 2. Điều này không xảy ra Vậy d=1 nên phân số tối giản 3. Pt [TEX]\Leftrightarrow x^2y^2-7y^2=x^2+2xy+y^2 \Leftrightarrow y^2(x^2-7)=(x+y)^2 \Leftrightarrow y=\frac{a}{b} [/TEX](với a=x+y; và b= căn bậc hai của x^2-7)

y nguyên=>[TEX]x^2-7[/TEX] là số chính phương

Đặt [TEX]x^2-7=a^2....thi....(x-a)(x+a)=7[/TEX]

Giai ra được x=4, y=2

Thử lại thấy nghiệm đúng

Vậy x=4, y=2



4.

Pt[TEX]\Leftrightarrow 4x^2+4y^2+4z^2+4t^2-4xy-4xz-4xt=0 \Leftrightarrow (x-2y)^2+(x-2z)^2+(x-2t)^2=0[/TEX]

Từ đó giải ra được x=2y=2z=2t



Em làm chắc cũng có đôi chỗ thiếu sót!

Phần II có phải nộp nữa không chị? Tại em thấy...chọn 1 trong 2 phần...

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt
chú ý hơi cẩu thả ; câu 1 dòng 2 gõ sai
thay chỗ tính A vào nhầm dẫn đến kq bài toán sai

điểm : 9,25

Phần 1:

Câu 1:
A=1.2+2.5+...+n(3n-1)
Ta có :
[TEX]1.2=3.1^2-1[/TEX]
[TEX]2.5=2.2^2-2[/TEX]
.....................
[TEX]n(3n-1)=3n^2-n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=3(1+2^2+3^2+...+n^2)-(1+2+3+...+n)[/TEX]
Mà ta có :
[TEX]1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)[/TEX]
Vậy A=n(n+1)


câu 2:
[TEX]\frac{21n+4}{14n+3}[/TEX]
Giả sử [TEX]\frac{21n+4}{14n+3}[/TEX] ko phải à 1 phân số tôi giản
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{21n+4}{14n+3} [/TEX]chia hết cho d
[TEX] 21n+4 /TEX]chia hết cho d [TEX]\Leftrightarrow 42n+8 [/TEX]chia hết cho d
[TEX]14n +3 [/TEX]chia hết cho d [TEX]\Leftrightarrow 42n+9 [/TEX]chia hết cho d
[TEX]\Leftrightarrow 42n+9-(42n+8)[/TEX]chia hết cho d
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] 1chia hết cho d
[TEX]\Rightarrow d=1[/TEX]
-> dpcm

câu 3:
[TEX]x^2y^2-x^2-8y^2=2xy[/TEX]
+ ta thấy x=y= 0 là no của PT
+x,y#0
[TEX]\Rightarrow x^2y^2=(x+y)^2+7y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2(x^2-7)=(x+y)^2[/TEX]
Do [TEX](x+y)^2[/TEX] là 1 số cp , [TEX]y ^2[/TEX] là 1 số cp
[TEX]\Leftrightarrow x^2-7[/TEX] phải là 1 số chính phương
Đặt : [TEX]x^2-7=n^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (|x|-|n|)(|x|+|n|)=7=1.7[/TEX]
Do x,y nguyên và |n|+|x|>|x|-|n|
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\left{\begin{|n|+|x|=7}\\{|x|-|n|=1} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [/TEX] |x|=4
- x=4==> y=2hoặc -1
-x=-4==>y=1 hoặc -2
Vậy PT có các cặp giá trị (x,y)=(0,0)(4,2)(4,-1)(-4,-2)(-4,1)



câu4 :
[TEX]x^2+y^2+z^2+t^2=x(y+z+t)[/TEX]
[TEX] (\frac{x}{2}-y)^2+(\frac{x}{2}-z)^2+(\frac{x}{2}-t)^2+\frac{x^2}{4 }=0[/TEX]
[TEX](\frac{x}{2}-y)^2+(\frac{x}{2}-z)^2+(\frac{x}{2}-t)^2+\frac{x^2}{4 }\geq0[/TEX]`

[TEX]\Rightarrow x=y=x=t=0[/TEX]

 

[silvery21]

nhận xét
bài ấn tượng ; trình bày đẹp
điểm 10 .

1. tính tổng
A=1.2+2.5+3.8+....+n(3n-1)
=[TEX]3.1^2-1+3.2^2-2+3.3^2-3 + .....+ 3n^2-n [/TEX]
=[TEX]3(1^2+2^2+3^2+... + n^2)-(1+2+3+....+n)[/TEX]
ta có
[TEX]1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/TEX] (1)
** chứng minh : bằng PP qui nạp
_ với n=1 ta có [TEX]1^2=\frac{1(1+1)(2.1+1)}{6} [/TEX] --> (1) đúng
_ giả sử (1) đúng với n=k ; chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1
ta có
[TEX]1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2[/TEX]
[tex]=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 [/tex]
[TEX]=\frac{2k^3+3k^2+k}{6}+\frac{6k^2+12k+6}{6}[/TEX]
[TEX]=\frac{2k^3+9k^2+13k+6}{6}[/TEX]
[TEX]=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/TEX]
[TEX]=\frac{(k+1)[(k+1)+1] [2(k+1)+1]}{6}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow [/TEX] (1) đúng
thay vào
A=[TEX]3(1^2+2^2+3^2+... + n^2)-(1+2+3+....+n)[/TEX]
=[TEX]3. \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}- \frac{n(n+1)}{2} [/TEX]
[TEX]=\frac{(n+1).(2n^2+n) - n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]= \frac{2n^2(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]=(n+1).n^2[/TEX]
kết luận
[TEX] A =(n+1).n^2[/TEX]

câu 2
gọi ước chung lớn nhất cả 21n+1 và 14n+3 là d (TEX]d \in \N*)
ta có
21n+1 chia hết cho d
14n+3 chia hết cho d
[TEX] \Rightarrow [/TEX]
42n+2 chia hết cho d
42n+9 chia hết cho d
[TEX] 7 chia hết cho d mà ([TEX]d \in \N*[/TEX])
do đó d=1 hoặc d=7
_nếu d=7 thì 21n+1 và 14n+3 không chia hết cho 7 ( loại)
do đó d=1
như vậy [TEX]\frac{21n+1}{14n+3} [/TEX] là phân số tối giản



bài 4

[TEX] x^2+y^2+z^2+t^2=x(y+z+t) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2+4y^2+4z^2+4t^2=4xy+4xz+4xt[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-4xy+4y^2) + (x^2-4xz+4z^2) + (x^2-4xt+4t^2)=0[/TEX]
[TEX](x-2y)^2+(x-2z)^2+(x-2t)^2+x^2=0=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x=2y}\\{x=2z}\\{x=2t}\\{x=0}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=y=z=t=0[/TEX]
vậy x=y=z=t=0

bài 3
[TEX]x^2y^2-x^2-8y^2=2xy [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2(x^2-8)-2xy-x^2=0 [/TEX] (1)
pt (1) có nghiệm nguyên
ĐK cần
đen ta phẩy là số chính phương
ta có
[TEX]x^2 +(x^2(x^2-8)=a^2[/TEX] ([TEX] a \in \Z [/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow x^4-7x^2=a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^4- 28x^2 = 4a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^2-7)^2-49 = 4a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^2-7)-(2a)^2 = 49[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2x^2+2a-7)(2x^2-2a-7)=49[/TEX]
ta có
[TEX](2x^2+2a-7)+(2x^2-2a-7)=4x^2-14 \geq -14[/TEX]
nên ta có các trường hợp sau :
_ TH1 [TEX]2x^2+2a-7 + 2x^2-2a-7 = 1+49 = 50 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4x^2 = 50+14=64[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x= 4 hoặc x=-4 [/TEX]
+) x=4 , thay vào giả thiết ta có
[TEX] 16y^2-16-8y^2=8y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8y^2-8y - 16=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2 -y-2 =0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y+1)(y-2) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y=-1}\\{y = 2}[/TEX]
ta có (4;-1); (4;2) là nghiệm của phương trình
+) x=-4 , thay vào giả thiết ta có

[TEX] 16y^2-16-8y^2=-8y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8y^2+8y - 16=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2 +y-2 =0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-1)(y+2) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y=1}\\{y =- 2}[/TEX]
ta có (-4;1); (-4;-2) là nghiệm của phương trình
_ TH2 : [TEX]2x^2+2a-7 + 2x^2-2a-7 = 7+7 = 14 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4x^2= 28[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2 = 7[/TEX] ( loại vì x nguyên)
_ TH3 : [TEX]2x^2+2a-7 + 2x^2-2a-7 = (-7)+(-7) = -14 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4x^2= 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2 = 0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=0[/TEX]
thay x=0 vào giả thiết ta có : [TEX] -8y^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y=0[/TEX]
vậy (0;0) là nghiệm của phương trình
Kết Luận : phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên là
(0;0); (4;-1);(4;2);(-4;1);(-4;-2)

hic hic , sự cố nên lại cắt thành 3 bài



cách 2
[TEX]x^2y^2-x^2-8y^2=2xy [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2(x^2-7) = (x+y)^2[/TEX]
+) y=0 thì x=0
+) x nguyên nên [TEX] x^2 -7 [/TEX] khác 0
+) [TEX]x^2-7 [/TEX] là số chính phương
ta có :
[TEX] x^2-7 = a^2 [/TEX] ( a nguyên)
[TEX]\Leftrightarrow (x-a)(x+a) = 7 [/TEX]
__TH1 : (x-a)+(x+a) = 1+7 = 8 [TEX]\Leftrightarrow x=4[/TEX]
thay vào giả thiết ta có [TEX] 16y^2-16-8y^2=8y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8y^2-8y - 16=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2 -y-2 =0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y+1)(y-2) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y=-1}\\{y = 2}[/TEX]
ta có (4;-1); (4;2) là nghiệm của phương trình

__TH2: (x-a)+(x+a)=(-1)+(-7)=-8 [TEX]\Leftrightarrowx=- 4[/TEX]
x=-4 , thay vào giả thiết ta có [TEX] 16y^2-16-8y^2=-8y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8y^2+8y - 16=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow y^2 +y-2 =0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-1)(y+2) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{y=1}\\{y =- 2}[/TEX]
ta có (-4;1); (-4;-2) là nghiệm của phương trình
kết luận :

phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên là (0;0); (4;-1);(4;2);(-4;1);(-4;-2)

 

[hellosirius]

ơ thế không có bài của em à
....................

 

[silvery21]

bài của bigban195.

nộp rất nhanh)

điểm 10

 

[silvery21]

nhận xét : bài làm tốt

ms.sun

điểm 10 .

chị ơi e gưỉ trước 3 bài ,bài cònlại tính sau chờ e đi học về rồi giải quyêt
đề 2a:

2, tìm nghiệm nguyên
[TEX]12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 9x^2+3(x+y)^2=28(x+y)[/TEX]
Vì [TEX]VT \geq 0 \Rightarrow VP \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 0[/TEX]
lại có:
[TEX] 3(x+y)^2 \leq 28(x+y) \Leftrightarrow x+y \leq 9[/TEX]
và [TEX] VT \vdots 3 \Rightarrow VP \vdots 3 \Rightarrow x+y \vdots 3[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 0 \leq x+y \leq 9 ---and----(x+y) \in {0;3;6;9}[/TEX]
[TEX](+) x+y=0 \Rightarrow 9x^2=0 \Leftrightarrow x=0 \Rightarrow y=0 [/TEX]
[TEX] (+) x+y=3 \Rightarrow 9x^2+3.3^2=28.3 \Leftrightarrow x^2=\frac{19}{3} \Rightarrow loai [/TEX]
[TEX] (+) x+y=6 \Rightarrow 9x^2+3.6^2=28.6 \Leftrightarrow x^2=\frac{20}{3} \Rightarrow loai[/TEX]
[TEX] (+) x+y=9 \Rightarrow 9x^2+3.9^2=28.9 \Leftrightarrow \left[\begin{x=1}\\{x=-1} [/TEX] [TEX] \Rightarrow \left [\begin{y=8}\\{y=10} [/TEX]

vậy nghiệm nguyên của phương trình (x;y)={(0;0);(1;8);(-1;10)}

1, Biết pt [TEX]x^2+mx+n=0 (m-khac-n)[/TEX] có nghiệm m,n
tính m,n
ta có: áp dụng ĐL Viet ta được:
[TEX]\left{\begin{m+n=-m}\\{mn=n}[/TEX] [TEX] \Rightarrow \left{\begin{m=1}\\{n=-2}[/TEX]
Vậy [TEX](m;n)=(1;-2)[/TEX]

3, Tìm nghiệm nguyên dương
[TEX]x^2+(x+y)^2=(x+9)^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x^2-(x+9)^2=-(x+y)^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (x+x+9)(x-x-9)=-(x+y)^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 9(2x+9)=(x+y)^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{2x+9=0}\\{2x+9=a^2(a\in Z+)}[/TEX]

(+)[TEX]2x+9=0 \Rightarrow x=\frac{-9}{2} \Rightarrow loai[/TEX]
(+)[TEX] 2x+9=a^2 \Rightarrow a=2k+1[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 2x+9=4k^2+4k+1[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4k^2+4k-2x-8=0 \Leftrightarrow 2k^2+2k-x-4=0 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow x=2h (h \in Z+)[/TEX]

lại có:
[TEX] (x+y)^2<(x+9)^2 [/TEX] (vì x,y nguyên dương)
[TEX] \Rightarrow x+y<x+9 \Leftrightarrow 0<y<9[/TEX]
Vì x chẵn x^2 chẵn x+9 lẻ (x+9)^2 lẻ (x+y)^2 lẻ y lẻ
Vậy [TEX] y \in {1;3;5;7}[/TEX]
Thử với từng trường hợp ta được các cặp số (x;y) thoả mãn là :
[TEX] (x;y)={(8;7);(20;1)}[/TEX]

4, CM pt sau khồng có nghiệm nguyên
[TEX]x^2-2y^2=5[/TEX]
Từ phương trình x^2 lẻ x lẻ
Đặt [TEX] x=2k+1(k\in Z)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow pt \Leftrightarrow 4k^2+4k+1-2y^2=5[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4k^2+4k-2y^2-4=0[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2k^2+2k-2=y^2[/TEX]
y^2 chẵn y chẵn
Đặt [TEX] y=2h(h\in Z)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow pt \Leftrightarrow 2k^2+2k-2=4h^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow k^2+k-1=2h^2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow k(k+1)=2h^2+1[/TEX]
vô lí vì : [TEX] \left{\begin{VT \vdots 2}\\{VP \not\vdots 2}[/TEX]
đpcm

 

[silvery21]

muathu1111

gõ thiếu chỗ \delta câu 2 ........
bài 3 nghiệm nguyên dương mà em

điểm 9,75

Đề 2a :
Câu 1 :
Theo định lý Vi ét ta có : m+n = - m
................................... m.n=n
Với n=0 thì m =0 ( ko thỏa mãn đk đề bài)
Với n # 0 thì m = 1 => n= -1 - 1 = -2
Vậy pt có cặp nghiệm m=1 , n= -2
Câu 2 : Ta có : 12.x^2 + 6xy + 3.y^2 = 28 (x+y)
3.y^2 + y.(6x - 28) + 12.x^2 - 28x = 0
Delta = (6x - 28)^2 - 4.3.(12.x^2 - 28)
= 784 - 108.x^2
Vì pt có nghiệm => Delta 0 => 784 - 108.x^2 0 =>x^2 \frac{196}{27} = 7,2592...
Mà x thuộc Z => x = - 1,- 2,0,1,2
Với x = - 1 thì Delta = 676 =>Căn Delta = 26
=> y1 = [- (6x - 28) + căn Delta] / 6 = 10
y2 = \frac{4}{3} ( ko thỏa mãn đề bài)
Với x = - 2 và 2 thì Delta = 352 => Căn Delta = \sqrt{352} ( loại vì y nguyên )
Với x = 0 thì y=0
Với x= 1 thì Delta = 676 => Căn Delta = 26
=> y1 = \frac{-2}{3} ( loại )
y2 = 8
Vậy pt có 3 cặp nghiệm nguyên (x,y) là (0,0) ; (-1,10) ; ( 1,8)
Câu 3 : Ta có : x^2 + (x+y)^2 = (x+9)^2
<=> y^2 + 2xy + x^2 - 18.x - 81=0
Delta = 4.x^2 - 4(x^2-18.x-81) = 36.(2.x+9)
Vì x,y nguyên dương => 2x + 9 = a^2 9
=> a^2 lẻ => a lẻ => a có thể là 3,5,7,9...
=> x có thể là 0,8,20,36...
Lại có: căn Delta 2x => 3. căn (2x+9) x
=> x = 0,8,20.
Với x=0 thì y = 9
Với x= 8 thì y = 7
Với x=20 thì y =1
Vậy pt có 3 cặp nghiệm nguyên dương (x,y) là ( 0,9) ; (8,7);(20,1)

Câu 4 : Giả sử pt x^2 - 2.y^2 = 5 có nghiệm nguyên
=> x lẻ
Đặt x= 2k+1
=> (2k+1)^2 - 2y^2=5
<=> 4k(k+1) - 2y^2=4
<=> k(k+1) - (y^2) / 2 = 1
Mà k(k+1) chia hết cho 2
Mặt khác 1 nguyên,k(k+1) nguyên =>(y^2) /2 nguyên => y^2 chia hết cho 2
=>VT chia hết cho 2 mà 1 ko chia hết cho 2
=> Vô lý => ĐPCM

 

[silvery21]

điểm 10

bài làm tốt nhưng chữ xấu

[TEX]a+b+c=abc=a^3[/TEX] nên [TEX](a^3-a)^2=(c+b)^2 \ge 4cb=4a^2[/TEX] do vậy [TEX]a^2[(a^2-1)^2-4] \ge 0[/TEX] mà [TEX]a^2 >0 [/TEX]do a khác 0 nên vậy [TEX](a^2-1)^2 \ge 4[/TEX] hay [TEX]a^2-1 \ge 2 [/TEX]hoặc [TEX]a^2-1 \le -2[/TEX], trưởng hợp thứ 2 không thỏa mãn do [TEX]a^2 >0[/TEX] vậy trưởng họp đúng và đó chính là đpcm.

 

[silvery21]

kukumalu_2010

uhm ...............câu 1 m# n mà em
câu 3 lại két luận nhầm cặp nghiệm

Điểm 9;75

phần 1

1) đk : [tex]m^2-4n\geq0[/tex]

theo định lí vi-ét ta có : [tex]\left{\begin{m=n=-m(1) }\\{mn=n(2)}[/tex]

từ (2)[tex]\rightarrow\left[\begin{n=0}\\{m= 1}[/tex]

với n=0 thay vào (1) ta tính được m=0.khi đó pt đã cho trở thành :[tex]x^2=0[/tex]

với m=1 thay vào (1) tatính được n=-2.khi đó pt đã cho trở thành :[tex]x^2+x-2=0[/tex]

vậy các cặp số (m,n ) thoả mãn bt là (0;0) và (1;-2)

2) ta có : [tex]12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)\leftrightarrow 9x^2+(3x^2+6xy+3y^2)=28(x+y)\leftrightarrow9x^2=-3(x+y)^2+28(x+y)\leq63\rightarrowx^2\leq7\rightarrowx^2 \in {0;1;4} [/tex]

+ với [tex]x^2=0[/tex]x=0 thay vào pt ban đầu ta tính được y=0(tm) và y=28/3 (ko tm)

+ với [tex]x^2=1 [/tex]khi đó hoặc x=1 hoặc x=-1

- với x=1 ,thay vào pt ban đầu ta tính được y=8 (tm) và y=-2/3(ko tm)

- với x=-1,thay vào pt ban đầu ta tính được y=10(tm) và y=4/3 (ko tm)

+ với[tex] x^2=4[/tex] khi đó hoặc x=2 hoặc x=-2

- với x=2,thay vào pt ban đầu ta tính được [tex]y\notin z [/tex](ko tm)

- với x=-2, thay vào pt ban đầu ta tính được [tex]y\notin z [/tex](ko tm)

vậy pt có các cặp nghiệm (x;y) là: (0;0),(1;8),(-1;10)

3)ta có :[tex]x^2+(x+y)^2=(x+9)^2 \leftrightarrow x^2+2xy+y^2-18x-81=0\leftrightarrow x^2+2x(y-9)+y^2-81=0[/tex]

khi đó : [tex]\large\delta' = (y-9)^2-(y^2-81)=162-18y[/tex]

pt có nghiệm khi [tex]\large\delta'\geq0 [/tex] nên 162-18y0

[tex]y \in [{1;2;3;4;5;6;7;8;9}][/tex]

thay vào pt ban đầu ta tìm được x

vậy pt có các nghiệm (x;y) là : ( 1;20),(7;8)

4) ta có : [tex]x^2-2y^2=5 \rightarrow x^2 \equiv 2y^2 (mod 5)[/tex]

do 5 là số nguyên tố và x,y là các số nguyên nên x và y chia hết cho 5

x;y có dạng 5k;5q ( [tex]k;q \in z[/tex])

khí đó pt ban đầu trở thành: [tex]25k^2-50q^2=5 \leftrightarrow 5k^2-10q^2=1[/tex](pt vô nghiệm )

vậy pt đã cho ko có ng nguyên

..... ....

 

[silvery21]

bài trình bày rất đẹp + tốt mà ngắn gọn

điểm 10

Đề 2b:

 

[silvery21]

m.sun làm cả 2 câu

câu cuối chưa lý luận rõ

theo sự cho phép của chị ,em làm nốt đề 2 nhá

2, a,b,c khác 0:

[TEX]\left{\begin{a+b+c=abc} (1) }\\{a^2=bc} (2)}[/TEX]

CM: [TEX]a^2 \geq 3[/TEX]

[TEX] (1) \Rightarrow a+b+c=a^3 \Leftrightarrow b+c=a^3-a \Leftrightarrow b=a^3-a-c[/TEX]

[TEX] (2) \Rightarrow bc=a^2 \Leftrightarrow (a^3-a-c)c=a^2 \Leftrightarrow a^3c-ac-c^2=a^2 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow a^3c-ac=a^2+c^2 \geq 2ac \Rightarrow ac(a^2-1) \geq 2ac \Leftrightarrow a^2 \geq 3[/TEX] (dpcm)





3, [TEX]a,b,c >0: a^2+b^2+c^2=27[/TEX]

Tìm min [TEX]S=a^3+b^3+c^3[/TEX]

Áp dụng BĐT BUnhiacốp ski , ta có:

[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \leq (\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2)[(a\sqrt{a})^2+(b\sqrt{b})^2+(c\sqrt{c})^2][/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2 \leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3)[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3 \geq \frac{27^2}{a+b+c}[/TEX]



Áp dụng BĐT BUnhiacôpski ta có:

[TEX] a+b+c \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)} =\sqrt{27.3}=9[/TEX]



Vậy [TEX] S \geq \frac{27^2}{a+b+c} \geq \frac{27^2}{9} =81[/TEX]

Vậy [TEX] min S=81[/TEX]

Đẳng thức xảy ra khi [TEX] a=b=c=3[/TEX]



4, [TEX]x,y,z>0 : xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+xz\sqrt{xz}=1 [/TEX]

Tìm min :[TEX] A=\frac{x^6}{x^3+y^3}+\frac{y^6}{y^3+z^3}+\frac{z^6}{x^3+z^3} [/TEX]

áp dụng BĐT Sơ-vác ta được:

[TEX] A \geq \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{x^3+y^3+y^3+z^3+z^3+x^3} =\frac{x^3+y^3+z^3}{2}[/TEX]

Vì [TEX](a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca [/TEX]

Đặt [TEX]\left {\begin{a^2=x^3}\\{b^2=y^3}\\{c^2=z^3}[/TEX]

[TEX] \Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+xz\sqrt{xz}=1[/TEX]

[TEX] \Rightarrow A \geq \frac{1}{2} [/TEX]

đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1/2



1 em làm thử cách chó mèo này không biét có đúng không

Cho x,y là nghiệm phương trình:

[TEX]2x+5y=10[/TEX]

CM:[TEX]3xy-x^2-y^2<7[/TEX]

[TEX] pt \Leftrightarrow x=\frac{10-5y}{2}[/TEX]

Vậy [TEX]3xy-x^2-y^2=3.\frac{10-5y}{2}.y-(\frac{10-5y}{2})^2-y^2[/TEX]

[TEX]=\frac{60y-30y^2-100-25y^2+100y-4y^2}{4}[/TEX]

[TEX] =\frac{-59y^2+160y-100}{4}[/TEX]

Xét [TEX] 3xy-x^2-y^2-7 = \frac{-(59y^2-160y+128)}{4} <0[/TEX]

Vậy đpcm

 

[silvery21]

dinhnam9f

nhận xét ; câu 2 wên chưa xét TH x= 0 nhé

điểm 9.5

bai` I



Theo hệ thức Vi-Et ta có :



m+n = -m
mn=n

m= 1 , n=-2


bài II


[TEX]12x^2 + 6xy+ 3y^2 = 28( x+y)[/TEX]



[TEX]9x^2 + 3(x^2+2xy+y^2) = 28(x+y)[/TEX]



[TEX]9x^2+3(x+y)^2=28(x+y) [/TEX]



[TEX]9x^2 = (x+y)[28-3(x+y)][/TEX]





VT chia het cho 9 VP cung chia hết cho 9



x+y chia hết cho 9



[TEX]9x^2 = 9 [/TEX]



x= 1 : -1



Vậy x= 1 , y= 8



x= -1 , y= 10



bài III





[TEX](x+y)^2 = (x+9)^2 - x^2 ([/TEX]





[TEX](x+y)^2 = 9( 2x+9) [/TEX]



( 2x+9) la` số chính phuong



x= 8 => y=7



x= 20 => y=1





( Nếu x >20 thì y âm )



bài IV



[TEX]X^2 - 2y^2 = 5 [/TEX]



1 số chính phuong chia cho 5 chi co the dư 1 , 4, 0



VP chia het cho 5 => VT chia het cho 5



Th 1 [TEX]x^2 : 5 du 1 thi` 2y^2 : 5 dư 1 [/TEX] => y^2 chia cho 5 dư 3



=> L oai



Th2 [TEX]x^2 : 5 dư 4 thì 2y^2 : 5 dư 4 [/TEX] => y^2 chia cho 5 dư 2





=> L oai





TH 3 [TEX]x^2 chia hết cho 5 => chia het cho 25 [/TEX]



[TEX]2y^2 chia het cho 5 => chia het cho 25 [/TEX]





Ma` VP ko chia hết cho 25 => loại





Vậy pt ko co nghiệm nguyên







______________Hết______________