[Toán 9] $a,b,c\geq0$. CMR: $(\frac{a+2b+3c}{6})^{6}\geq ab^{2}c^{3}$

[maruco369]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

câu 1: [TEX]a,b,c\geq0[/TEX]. CMR:
[TEX](\frac{a+2b+3c}{6})^{6}\geq ab^{2}c^{3}[/TEX]
Câu 2: CMR:
[TEX](\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b})^{8}\geq 64ab(a+b)^{2}[/TEX] với [TEX]a,b\geq 0[/TEX]
câu 3: CMR nếu có [TEX]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/TEX] thì [TEX]x^{2}\leq 1+a^{2}+b^{2}+c^{2}[/TEX]
câu 4: CMR nếu [TEX](x+y)^{2}+(x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2}[/TEX] thì ([TEX]a+b)^{2}\leq 3c^{2}[/TEX]
Câu 5: cho [TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1 [/TEX]và a,b,c>0 CMR
[TEX]x+y+z\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}[/TEX]

 

[nguyenbahiep1]

câu 1:

. CMR:

cosi 6 số ta có

[laTEX]\frac{a}{6} +\frac{b}{6} +\frac{b}{6}+ \frac{c}{6} +\frac{c}{6} +\frac{c}{6}\geq \sqrt[6]{a.b^2.c^3} \\ \\ \Rightarrow ( \frac{a+2b+3c}{6})^6 \geq ab^2c^3 \\ \\ a =b= c[/laTEX]

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzzzzzzzzz

Câu 5: cho [TEX]\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1 [/TEX]và a,b,c>0 CMR
[TEX]x+y+z\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}[/TEX]

Câu 5; Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki có:
[TEX](x+y+z)(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}) = ( (\sqrt[]{x})^2+(\sqrt[]{y})^2+(\sqrt[]{z})^2)( (\sqrt[]{\frac{a}{x}})^2+(\sqrt[]{\frac{b}{y}})^2+(\sqrt[]{\frac{c}{z}})^2 ) \geq (\sqrt[]{x}.\sqrt[]{\frac{a}{x}}+\sqrt[]{y}.\sqrt[]{\frac{b}{y}}+\sqrt[]{z}.\sqrt[]{\frac{c}{z}})^2=(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2 [/TEX] <=> [TEX]x+y+z \geq (\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}+\sqrt[]{c})^2[/TEX] (ĐPCM)

 

[1um1nhemtho1]

zzzzzzz

câu 4: CMR nếu [TEX](x+y)^{2}+(x+a)^{2}+(y+b)^{2}=c^{2}[/TEX] thì ([TEX]a+b)^{2}\leq 3c^{2}[/TEX]

Câu 4: Dễ chứng minh được BĐT [TEX]3(X^2+Y^2+Z^2) \geq (X-Y-Z)^2 (1)[/TEX]
vì nó tương đuơng [TEX](X+Y)^2+(X+Z)^2+(Y-Z)^2 \geq 0[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]X= -Y= -Z[/TEX] áp dụng BĐT (1) trên với [TEX]X=x+y, Y=x+a, Z=y+b [/TEX]ta có:
[TEX]3( (x+y)^2 + (x+a)^2 + (y+b)^2 ) \geq (x+y-x-a-y-b)^2= (a+b)^2[/TEX] hay[TEX]3c^2 \geq (a+b)^2 [/TEX] (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]x+y=-x-a=-y-b[/TEX] <=> [TEX]x=\frac{b-2a}{3}; y=\frac{a-2b}{3}[/TEX]

 

[1um1nhemtho1]

sssssssssssssssssssss

Câu 2: CMR:
[TEX](\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b})^{8}\geq 64ab(a+b)^{2}[/TEX] với [TEX]a,b\geq 0[/TEX]

Dễ chứng minh được BĐT [TEX](x+y)^2 \geq 4xy[/TEX] Dấu "=" xảy ra khi [TEX]x=y[/TEX]
áp dụng BĐT trên với [TEX]x=2\sqrt[]{ab}[/TEX] và [TEX]y=a+b[/TEX] có :
[TEX](2\sqrt[]{ab}+a+b)^2 \geq 4.2\sqrt[]{ab}(a+b) [/TEX] <=> [TEX](\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b})^4 \geq 8\sqrt[]{ab}(a+b) => (\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra <=> [TEX]2\sqrt[]{ab}=a+b[/TEX] <=> [TEX]a=b[/TEX]