Toán 8

[kimphuong1032]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh $n^3 + 20n$ chia hết cho 48 với n chẵn

 

[bubuchachaabc]

ta có:
[TEX] n^{3}[/TEX] + 20n
=[TEX]n^{3}[/TEX] - 4n + 24n
= n([TEX]n^{2}[/TEX]- 4) + 24n
= n(n - 2)(n+ 2) + 24n (*)
Vì n là số chẵn nên gọi n là 2k, thay n = 2k (k là số nguyên)vào(*) ta có:
2k(2k-2)(2k+2) + 24.2k
= 2k.2( k-1).2( k+1) + 48k
= 8k(k-1)(k+1) + 48k
Ta có k là số nguyên \Rightarrow k(k+1)(k-1) là 3 số nguyên liên tiếp
Mà trong 3 số nguyên liên tiếp: có ít nhất 1 số chia hết cho 2
có 1 số chia hết cho 3
và (3;2)=1
\Rightarrowk(k+1)(k-1) chia hết cho 6
\Rightarrow8(k+1)(k-1) chia hết cho 48
ta có 48k chia hết cho 48
và 8k(k+1)(k-1) chia hết cho 48
\Rightarrow 8k(k+1)(k-1) + 48k chia hết cho 48
\Rightarrow [TEX]n^{3}[/TEX] +20n chia hết cho 48 (đcpcm)