Toán 8

[kimphuong1032]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số a, b, c không đồng thời bằng 0 (tức là có ít nhất một số khác 0). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các biểu thức dưới đây có giá trị dương.
$M = (a + b + c)^2 - 8ab$
$N = (a + b + c)^2 - 8bc$
$Q = (a + b + c)^2 - 8ac$

 

[congchuaanhsang]

Giả sử cả 3 biểu thức đều âm
Khi đó: $(a+b+c)^2$<8bc
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac$<$6bc$
Tương tự $a^2+b^2+c^2+2ac+2bc$<$6ab$ ; $a^2+b^2+c^2+2ac+2ab$<$6ac$
\Rightarrow$3(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)$<$6(ab+bc+ca)$
\Leftrightarrow$3(a^2+b^2+c^2)$<$2(ab+bc+ca)$
Mặt khác $a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$\Leftrightarrow$3(a^2+b^2+c^2)$\geq$3(ab+bc+ca)$
\Rightarrow$3(ab+bc+ca)$<$2(ab+bc+ca)$
Chia cả 2 vế cho số dương ab+bc+ca ta được 3<2 (vô lý)
Vậy giả sử sai\Rightarrowđpcm

 

[son_gohan]

Giả sử cả 3 biểu thức đều âm
Khi đó: $(a+b+c)^2$<8bc
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac$<$6bc$
Tương tự $a^2+b^2+c^2+2ac+2bc$<$6ab$ ; $a^2+b^2+c^2+2ac+2ab$<$6ac$
\Rightarrow$3(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)$<$6(ab+bc+ca)$
\Leftrightarrow$3(a^2+b^2+c^2)$<$2(ab+bc+ca)$
Mặt khác $a^2+b^2+c^2$\geq$ab+bc+ca$\Leftrightarrow$3(a^2+b^2+c^2)$\geq$3(ab+bc+ca)$
\Rightarrow$3(ab+bc+ca)$<$2(ab+bc+ca)$
Chia cả 2 vế cho số dương ab+bc+ca ta được 3<2 (vô lý)
Vậy giả sử sai\Rightarrowđpcm

Bạn giải hay quá! Ngưỡng mộ thiệt