[Toán 8]

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cm chia hết: [TEX]a^5 - a[/TEX] chia hết 30
2. cho a, b, c >0. Cmr:
a. [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \ge a+b+c[/TEX]
b. [TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3 + a^3}{2ac} \ge a+b+c[/TEX]
3. Phân tích và thu gọn
P= [TEX]\frac{n^3 + 2n^2 -1}{n^3 + 2n^2 + 2n + 1}[/TEX]
4. cho [TEX]a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca =0[/TEX] Cm: a=b=c.

 

[nguyenbahiep1]

4. cho [TEX]a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca =0[/TEX] Cm: a=b=c.

Giải

[laTEX]2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca =0 \\ \\ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 = 0 \\ \\ a= b , b = c , c =a \\ \\ \Rightarrow a = b = c [/laTEX]

 

[letsmile519]

Câu 1
Xét [TEX]a^5-a[/TEX]
=[TEX]a(a^2-1)(a^2+1)[/TEX]
=[TEX]a(a-1)(a+1)(a^2+1)[/TEX]
chia hết cho 2,3
Xét [TEX]a(a^2-1)(a^2+1)[/TEX] 1 SCP chia 5 dư 1,4
\Rightarrow [TEX]a(a^2-1)(a^2+1)[/TEX] luôn chia hết cho 5
\Rightarrow [TEX]a(a^2-1)(a^2+1)[/TEX] chia hết cho 2.3.5=30

 

[nguyenbahiep1]

1. Cm chia hết: [TEX]a^5 - a[/TEX] chia hết 30


[laTEX] a(a^4-1) = a(a-1)(a+1)(a^2+1) \\ \\ dk: a \in N [/laTEX]

muốn chia hết cho 30 ta cần chia hết cho 2,3,5

a(a-1) luôn là số chẵn nên chia hết cho 2

(a-1)a(a+1) luôn chia hết cho 3 vì là tích của 3 số liên tiếp

[TEX]a^2+1[/TEX] chia 5 chỉ có 2 trường hợp là dư 1 và dư 2

nếu [TEX]a^2+1[/TEX] chia 5 dư 1 thì a-1 sẽ chia hết cho 5

nếu [TEX]a^2+1[/TEX] chia 5 dư 2 thì a+1 sẽ chia hết cho 5

 

[letsmile519]

1. Cm chia hết: [TEX]a^5 - a[/TEX] chia hết 30
2. cho a, b, c >0. Cmr:
a. [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \ge a+b+c[/TEX]
b. [TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3 + a^3}{2ac} \ge a+b+c[/TEX]
3. Phân tích và thu gọn
P= [TEX]\frac{n^3 + 2n^2 -1}{n^3 + 2n^2 + 2n + 1}[/TEX]
4. cho [TEX]a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca =0[/TEX] Cm: a=b=c.

2a)
[TEX]\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}[/TEX]\geq 2a
tương tự
[TEX]\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}[/TEX]\geq 2c
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}[/TEX]\geq 2b
\Rightarrow
[TEX]2.(\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b}) \ge 2(a+b+c)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \ge a+b+c[/TEX]

 

[tiendat102]

Câu 3:
[TEX]n^3+2n^2-1=(n+1)(n^2+n-1)[/TEX]
[TEX]n^3+2n^2+2n+1=(n+1)(n^2+3n+1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P= \frac{(n+1)(n^2+n-1)}{(n+1)(n^2+3n+1)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P= \frac{n^2+n-1}{n^2+3n+1}[/TEX]

 

[tiendat102]

Câu 1:
Ta có [TEX]a^5-a=a(a^4-1)=a(a-1)(a + 1)(a^2+1)[/TEX]

Do a(a-1)(a 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho 6.

Mặt khác, [TEX]a^5-a[/TEX] luôn chia hết cho 5 (định lý Fermat)
\Rightarrow ĐPCM

 

[thong7enghiaha]

2. b)

$\dfrac{a^3+b^3}{2ab}+\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{c^3+a^3}{2ac}=\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+ \dfrac{b^2}{2c}+\dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{c^2}{2a}+ \dfrac{a^2}{2c}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\dfrac{a^2}{2b}+\dfrac{b^2}{2a}+ \dfrac{b^2}{2c}+ \dfrac{c^2}{2b}+\dfrac{c^2}{2a}+\dfrac{a^2}{2c} \ge \dfrac{4(a+b+c)^2}{4(a+b+c)}=a+b+c$

$\to Q.E.D$

 

[conga222222]

1. Cm chia hết: [TEX]a^5 - a[/TEX] chia hết 30
2. cho a, b, c >0. Cmr:
a. [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \ge a+b+c[/TEX]
b. [TEX]\frac{a^3 + b^3}{2ab} + \frac{b^3 + c^3}{2bc} + \frac{c^3 + a^3}{2ac} \ge a+b+c[/TEX]
3. Phân tích và thu gọn
P= [TEX]\frac{n^3 + 2n^2 -1}{n^3 + 2n^2 + 2n + 1}[/TEX]
4. cho [TEX]a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca =0[/TEX] Cm: a=b=c.

cau 2:
$$\eqalign{
& \cos i: \cr
& {{ab} \over c} + {{bc} \over a} \ge 2b \cr
& {{ab} \over c} + {{ca} \over b} \ge 2a \cr
& {{bc} \over a} + {{ca} \over b} \ge 2c \cr
& \to 2*VT \ge 2\left( {a + b + c} \right) \cr
& \cr} $$

 

[blackspace]

Bài 2
b) Vì a,b dương [TEX]\Rightarrow (a+b)(a-b)^2\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)[(a^2-ab+b^2)-ab]\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3-ab(a+b)\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{2ab}\geq\frac{a+b}{2}[/TEX](1)
tương tự:[TEX]\frac{b^3+c^3}{2bc}\geq\frac{b+c}{2}[/TEX](2)
[TEX]\frac{a^3+c^3}{2ac}\geq\frac{a+c}{2}[/TEX](3)
cộng (1),(2),(3) ta được điều phải chứng minh