toán 8

[tiendat102]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 :
Cho [TEX]a+b-c=0[/TEX]
Chứng minh : [TEX](a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)[/TEX]

 

[thong7enghiaha]

Ta có:

*$a+b-c=0$

\Leftrightarrow $a^2+b^2=c^2-2ab$ và $a^2+b^2-c^2=-2ab$

*$a+b-c=0$

\Leftrightarrow $(a+b)^4=c^4$

\Leftrightarrow $a^4+b^4=c^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3$

Giả sử: $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$ (***) thì ta có:

(***)\Leftrightarrow $(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)=0$

\Leftrightarrow $(2c^2-2ab)^2-2(2c^4-4a^3b-6a^2b^2-4ab^3)=0$

\Leftrightarrow $4c^4-8abc^2+4a^2b^2-4c^4+8a^3b+12a^2b^2+8ab^3=0$

\Leftrightarrow $16a^2b^2+8ab(a^2+b^2-c^2)=0$

\Leftrightarrow $16a^2b^2+8ab(-2ab)=0$

\Leftrightarrow $16a^2b^2-16a^2b^2=0$ (Đúng)

Vậy $(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4)$

P/s: Cách này "hơi bị" dài dòng ak, ai có cách nào hay hơn thì post nhé...^-^

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


Mình có cách khác này
Ta có: a+b-c=0
\Leftrightarrow$(a+b-c)^2$=0
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca=0$
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2$=-2(ab-bc-ca)
\Leftrightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2$=4($a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-2ab^2c+2abc^2-2a^2bc)$
\Leftrightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2$=4[$a^2+b^2+c^2$-2abc(a+b-c)]$
\Leftrightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2$=4($a^2+b^2+c^2$)(Vì a+b-c=0)

Lại có:
$2(a^4+b^4+c^4)$=$2[(a^2+b^2+c^2)^2$-2$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$]
$2(a^4+b^4+c^4)$=$2(a^2+b^2+c^2)^2$-4($a^2+b^2+c^2$)
$2(a^4+b^4+c^4)$=$2(a^2+b^2+c^2)^2$-$(a^2+b^2+c^2)^2$
$2(a^4+b^4+c^4)$=$(a^2+b^2+c^2)^2$(đpcm)