[Toán 8] Topic giải toán 8

[windysnow]

Chậc, hình siêu ế -_________-
Qua mấy câu đại số vậy.
Cho a,b,c > 0. Chứng minh các bđt sau:
a) [TEX](a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc[/TEX]
b) [TEX]\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \geq a + b +c[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

Cho a,b,c > 0. Chứng minh các bđt sau:
a) $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$
b) $\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} + \dfrac{ab}{c} \ge a + b +c$

Áp dụng Cosi cho các số $a ,b,c >0$

a) $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

$b+c\ge 2\sqrt{bc}$

$c+a \ge 2\sqrt{ab}$

$\rightarrow (a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$ (dpcm)

b) $\dfrac{bc}{a} +\dfrac{ca}{b} \ge 2.\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=2c$

$\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge 2.\sqrt{\dfrac{ca}{b}.\dfrac{ab}{c}}=2a$

$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge 2.\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}=2a$

$\rightarrow 2.(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}) \ge 2(a+b+c)$

$\rightarrow$ đpcm

 

[phamhuy20011801]

a, Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
[TEX]a+b \geq 2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]b+c \geq 2\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]c+a \geq 2\sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}= 8abc[/TEX](đpcm)
b, Từ [TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2[/TEX]
(do a,b,c>0; chuyển vế quy đồng lên ta được [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab}[/TEX] - luôn đúng)
[TEX]\Rightarrow c(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \geq 2c[/TEX]
[TEX]\frac{ca}{b} + \frac{bc}{a} \geq 2c[/TEX] (1)
Tương tự:
[TEX]\frac{ab}{c} + \frac{ca}{b} \geq 2a[/TEX] (2)
[TEX]\frac{ba}{c} + \frac{bc}{a} \geq 2b[/TEX] (3)
Từ (1)(2)(3) ta có đpcm...

[TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2[/TEX] ở đâu ra vậy? ._.

 

[hien_vuthithanh]

b) $\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ca}{b} + \dfrac{ab}{c} \ge a + b +c$

Cách khác : Bình phương

Ta có$ \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} \ge a+b+c $

\Leftrightarrow$ (\sum \dfrac{bc}{a})^2 \ge (\sum a)^2$

\Leftrightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + 2\sum a^2 \ge \sum a^2 +2\sum ab$

\Leftrightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + \sum a^2 \ge 2\sum ab$ (*)

Ta có $\dfrac{a^2b^2}{c^2}+\dfrac{b^2c^2}{a^2} \ge 2b^2$

TT \Rightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} \ge \sum a^2$

\Rightarrow $\sum\dfrac{a^2b^2}{c^2} + \sum a^2 \ge 2\sum a^2 \ge 2\sum ab$

\Rightarrow (*) Đúng

\Rightarrow ◘

 

[windysnow]

Tiếp:
c) [TEX]\frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2}, a + b + c = 3[/TEX]
d) [TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[lp_qt]

d.

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}= \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+cb} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2.\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}=\dfrac{3}{2}$

 

[hien_vuthithanh]

Tiếp:
c) [TEX]\frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2}, a + b + c = 3[/TEX]
d) [TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Câu c : Xem lại

d/ Cách khác:


Xét $VT=(1+\dfrac{a}{b + c}) + (1+\dfrac{b}{c + a}) +(1 +\dfrac{c}{a + b})-3$

=$(a+b+c)(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b})-3$

$\ge (a+b+c).\dfrac{9}{2(a+b+c)}-3=\dfrac{3}{2}$

 

[phamhuy20011801]

Áp dụng bđt cô si cho 3 số a+b; b+c; c+a:
[TEX]a+b+b+c+c+a \geq 3\sqrt[3]{(a+b)(c+a)(b+c)}[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}}[/TEX]

[TEX](a+b+b+c+c+a)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}) \geq 9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}) \geq 9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+ 1 +\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1 \geq \frac{3}{2}+3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

Tiếp:
c) [TEX]\frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2}, a + b + c = 3[/TEX]
d) [TEX] S=\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

d/ Cách 3 : Đặt $b+c=x ; c+a=y ;a+b=z$

$\rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{2}(x+y+z) \rightarrow a=\dfrac{y+z-x}{2}$

TT rút $b;c$ thế vào $VT$ .....

CÁch 4 :
Đặt $M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{a}{a+b}$

$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}$

$\rightarrow M+P=3$

Theo Cosi $\rightarrow M+S=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{a+c}{a+b} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{a+b}{b+c}.\dfrac{b+c}{c+a}.\dfrac{a+c}{a+b}}=3$

TT $\rightarrow P+S \ge 3$

$\rightarrow M+P+2S =3+2S \ge 6 \rightarrow S\ge \dfrac{3}{2}$

Bất đẳng thức Nesbitt​

 

[windysnow]

c) [TEX]\frac{a^2}{b + 2} + \frac{b + 2}{9} \geq 2\frac{a}{3}[/TEX]
Tương tự như thế, cộng theo từng vế ta được:

[TEX]\frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2} \geq 2(\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3}) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2} \geq 2(\frac{a + b + c}{3})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2} \geq 2(\frac{3}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b + 2} + \frac{b^2}{c + 2} + \frac{c^2}{a + 2} \geq 2 [/TEX]

Đến đây thì tắc thật -_____________-

1. Áp dụng BĐT Cauchy để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = (x+2)(6-x); [TEX](-2) \leq x \leq 6[/TEX]
b) y = x(8-x); [TEX]0 \leq x \leq 8 [/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

1. Áp dụng BĐT Cauchy để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = (x+2)(6-x); [TEX](-2) \leq x \leq 6[/TEX]
b) y = x(8-x); [TEX]0 \leq x \leq 8 [/TEX]

a/ \forall $-2 \le x \le 6 \rightarrow x+2 \ge 0 ; 6-x \ge 0$

$\rightarrow (x+2)(6-x)\le \dfrac{(x+2+6-x)^2}{4} =16$

Dấu = $\leftrightarrow x+2=6-x \leftrightarrow x=2$

b/ $0 \le x \le 8 \rightarrow 8-x \ge 0$

$\rightarrow x(8-x) \le \dfrac{(x+8-x)^2}{4}=16$

Dấu = $\leftrightarrow x=8-x \leftrightarrow x=4$

 

[windysnow]

Tiếp

Chứng minh các BĐT sau:

a) [TEX]x^4 + y^4 + x^4 \geq xyz(x + y + z) [/TEX]

b) Cho [TEX]\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c } + \frac{c}{a + b} = 1 [/TEX]

[TEX]\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{a + c } + \frac{c^2}{a + b} = ? [/TEX]

 

[phamhuy20011801]

a, Áp dụng 2 lần bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$
$x^4+y^4+z^4 \ge (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2$ (1)
$(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 \ge xy^z+xyz^2+x^2yz = xyz(x+y+z)$ (2)
Kết hợp (1); (2) có đpcm.
Dấu = xảy ra khi x=y=z

 

[phamhuy20011801]

Ta có:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+a+b+c$
$=\dfrac{a^2}{b+c}+a+\dfrac{b^2}{a+c}+b+\dfrac{c^2}{a+b}+c$
$=\dfrac{a(a+b+c)}{b+c}+\dfrac{b(a+b+c)}{a+c}+ \dfrac{c(a+b+c)}{a+b}$
$=(a+b+c)(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b})$
$=(a+b+c).1=a+b+c$
Vậy $\dfrac{a^2}{b+z}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0$

 

[Thái Vĩnh Đạt]

Đề kiểm tra một tiết toán hình hôm nay =)

Câu 1: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, BK.
a) CM tam giác ABH và tam giác BCK đồng dạng.
b) Gọi E là hình chiếu của H lên AC, F trung điểm BH. CMR tam giác ABF và tam giác BCE đồng dạng.

1/Xét tam giác ABH và tam giác BCK
có [tex]\widehat{ABH}=\widehat{KCH}[/tex](tam giác ABC cân tại A)
Nên [tex]\Delta ABH\sim \Delta BCK[/tex](g-g)(1)
b)Từ (1)[tex]\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{CK}[/tex][tex]\Rightarrow \frac{AB}{4BH}=\frac{BH}{CK}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{AB}{BF}=\frac{4BH}{CK}[/tex](2)
Ta có [tex]\frac{BC}{CE}=2.\frac{CH}{CE}[/tex]
Mặt khác: EH là đường trung bình của tam giác CBK (EH song song với BK, HC=HB) nên [tex]\frac{CE}{CK}=\frac{CH}{CB}=\frac{1}{2}[/tex][tex]\Rightarrow \frac{CH}{CE}=\frac{CB}{KC}[/tex]
Do đó [tex]\frac{BC}{CE}=2.\frac{CB}{CK}[/tex]=[tex]\frac{4BH}{CK}[/tex](3)
Từ (2) và (3)[tex]\Rightarrow \frac{AB}{BF}=\frac{BC}{CE}[/tex]
Xét tam giác ABF và tam giác BCE
có [tex]\frac{AB}{BF}=\frac{BC}{CE}[/tex]
[tex]\widehat{ABF}=\widehat{BCE}[/tex]
Vậy [tex]\Delta ABF\sim BCE(c-g-c)[/tex]

 

[Lê thị na]

Cho tam giác đều ABC có cạnh = 12cm. Gọi O là giao trung điểm của BC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho góc MÓN = 60 độ
a) C/m: tam giác BMC đồng đang tam giác CON từ đó tính tích BM.CN
b) C:m : tam giác OMN đồng đang tam giác BMO
c) Tính khoảng cách từ O đến đường MN

 

[Thái Vĩnh Đạt]

Cho tam giác đều ABC có cạnh = 12cm. Gọi O là giao trung điểm của BC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho góc MÓN = 60 độ
a) C/m: tam giác BMC đồng đang tam giác CON từ đó tính tích BM.CN
b) C:m : tam giác OMN đồng đang tam giác BMO
c) Tính khoảng cách từ O đến đường MN

Hình như bạn nhầm đề rồi! Câu a phải là tam giác BMO đồng đang tam giác CON từ đó tính tích BM.CN