[Toán 8]toán violympic

[phuonguyen8athd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau đôi một thì $\dfrac{a}{(b-c)^2}+\dfrac{b}{(c-a)^2}+\dfrac{c}{(a-b)^2}=0$ nếu $\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$

2) cho a,b,c và x,y,z là các số khác nhau và khác 0 chứng minh rằng nếu $\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}$ và $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ thì $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

Chú ý tiêu đề + gõ latex
Đã sửa, thân~

 

[thaolovely1412]

Bài 1
Từ [TEX]\frac{a}{b- c}+ \frac{b}{c-a} +\frac{c}{a-b} =0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{b- c}= \frac{b}{c-a}+ \frac{c}{a-b}= \frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-b)(c-a)}[/TEX]
Nhân 2 vế với [TEX]\frac{1}{b-c}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/TEX]
Tương tự [TEX]\frac{b}{(c-a)^2}= \frac{c^2-bc+ba-a^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}, \frac{c}{(a-b)^2}= \frac{a^2-ca+cb-b^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/TEX]
Cộng từng vế 3 đẳng thức trên \Rightarrow dpcm

 

[hoamattroi_3520725127]

2) cho a,b,c và x,y,z là các số khác nhau và khác 0 chứng minh rằng nếu a/x+b/y+c/z và x/a+y/b+z/c=1 thì x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

Đề hình như sai. Đáng nhẽ ra phải cho $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = 0$ chứ nhể ?

Theo đề ra có :


• $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} + \dfrac{c}{z} = \dfrac{ayz + bxz + cxy}{xyz} = 0 \rightarrow ayz + bxz + cxy = 0$

• $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$\leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} + 2(\dfrac{xy}{ab} + \dfrac{yz}{bc} + \dfrac{xz}{ac}) = 1$

$\leftrightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} + 2. \dfrac{cxy + ayz + bxz}{abc} = 1$

$\rightarrow \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$