[Toán 8]Toán khó

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng:
a, [TEX](a+b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]
b, [TEX]( a+b+c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[soccan]

$a)\\
\\
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{2}{\sqrt{ab}} \ge \dfrac{2}{\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{4}{a+b}\\
b)\\
(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9$

cách khác là áp dụng $Cauchy-Schwarz$
$a)\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{(1+1)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\\
b)\ (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge (a+b+c)\dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=9$

 

[windysnow]

Một cách khác để chứng minh câu b.

Ta có: [TEX](a + b + c)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})[/TEX]

= [TEX]1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1[/TEX]

= [TEX]3 + (\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b})[/TEX]

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số: [TEX]\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}[/TEX]

Dễ dàng chứng minh được [TEX]\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2[/TEX]

Tiếp tục chứng minh các đẳng thức còn lại.

 

[chaudoublelift]

Giải

Cho a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng:
a, $(a+b)(\frac{1}{a}+\dfrac{1}{b})≥4$
b, $( a+b+c)(\frac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c})≥9$
Giải:

CM BĐT phụ: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}≥2(1)$ (với $a,b>0$)
Thật vậy, với $a,b>0$ ta có: $(a-b)^2≥0⇔a^2-2ab+b^2≥0⇔a^2+b^2≥2ab⇔\dfrac{a^2+b^2}{ab} ≥ 2 ⇔ \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}≥2$(đpcm)
a) $(a+b)(\frac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\dfrac{a+b}{a}+ \dfrac{a+b}{b}=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}≥4$ (do (1))
b)$( a+b+c)(\frac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})= \dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}=3+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}$
$=3+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}=3+(\dfrac{b}{a}+ \dfrac{a}{b})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})≥9$(đpcm)(do (1))