[Toán 8]Toán cực khó

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng
$A= \frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c } \ge 3$

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[naruto2001]

Do a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b-c>0, b+c-a>0 , c+a-b > 0
Đặt x = b+c-a > 0
y = a+c-b > 0
z = a+b-c > 0

=> a = (y+z)/2
b = (x+z)/2
c = (x+y)/2

A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b)+c/(a+b-c)
= (y+z)/(2x) + (x+z)/(2y) + (x+y)/(2z)
= 1/2 . (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y)

Áp dụng bdt Cauchy cho 2 số:
x/y + y/x 2
x/z + z/x \geq 2
y/z + z/y \geq 2
Cộng 3 bdt trên suy ra
(x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) >= 6
=> A \geq 1/2.6=3 (dpcm)
p/s: hú ai cho mình làm mod bõ toán được không? hôm nay ngày gì mà toàn toán không?

 

[phamhuy20011801]

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên mẫu lớn hơn 0.
Đặt x=b+c-a
y=a+c-b
z=a+b-c
thì x+y=2c
y+z=2a
x+z=2b
Ta có:
$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$
= $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}$
= $(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Dễ dàng chứng minh từng cặp trên \geq 2
\Rightarrow $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c} \ge 6$
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \ge 3$

 

[kimanh1501.hy@gmail.com]

Dễ dàng chứng minh từng cặp trên \geq 2
\Rightarrow $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c} \ge 6$
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \ge 3$


Mình ko hiểu đoạn này bạn có thể giải kỹ hơn ko

 

[hocsinhchankinh]

$(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Dễ dàng chứng minh từng cặp trên \geq 2
\Rightarrow $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c} \ge 6$
$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c} \ge 3$

Cậu áp dung bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương là cậu sẽ có:
[TEX](\frac{y}{x}+\frac{x}{y})[/TEX]\geq $2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}=2$
Tương tự cho 2 phần còn lại

Không sử dụng mực đỏ

 

[kimanh1501.hy@gmail.com]

Bị lỗi rồi bạn ơi mk chẳng hiểu gì
@-)@-)@-)@-)@-)@-)@-)>-

 

[kimanh1501.hy@gmail.com]

Bạn có thể nói rõ đẳng thức AM-MG cho 2 số dương ko chưa học

 

[phamhuy20011801]

@kimanh1501.hy@gmail.com: Đó là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) áp dụng cho 2 số dương:
$a+b \ge 2.\sqrt{a.b}$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \ge 2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2.\sqrt{1}=2$
Bạn xem thêm ở đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?p=2764153#post2764153
Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức khái quát hơn của bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho n số dương

 

[kimanh1501.hy@gmail.com]

Ta có:
$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$
= $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}$
= $(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$


Xin lỗi nha mk ko hiểu đoạn này lắm bạn giải kỹ hơn cho mk đc ko mk cảm ơn

 

[phamhuy20011801]

$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}$
= $\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}$
(do đổi biến x,y ở trên)
= $\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+ \frac{x}{z} +\frac{y}{z}$
= $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+ \frac{x}{z} +\frac{z}{x}$
= $(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
Cậu còn không hiểu thì mình chịu :|