[Toán 8] Tìm GTNN của biểu thức sau

[c2nghiahoalgbg]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a,b,c,d,e>0 thoả mãn đk a+b+c+d+e=4.
Tìm GTNN của biểu thức P=$\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$
2)Tìm số dư của $21^{2011}$ chia cho 25

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức:$(a+b)^2 \geq 4ab \leftrightarrow a=b$.Ta có:

$(a+b+c+d+e)^2 \geq 4(a+b+c+d)e$

$(a+b+c+d)^2 \geq 4(a+b+c)d$

$(a+b+c)^2 \geq 4(a+b)c$

$(a+b)^2 \geq 4ab$

Nhân các đơn thức ở vế trái và nhân các đơn thức ở vế phải ta được:

$[(a+b+c+d+e)(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)]^2 \geq 256(a+b+c+d)(a+b+c)
(a+b)abcde$

Vì $a;b;c;d;e >0$ nên ta chia cả 2 vế cho $(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$ và
thay $a+b+c+d+e=4$ ta được:

$16(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b) \geq 256abcde$

$\leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b+c)(a+b) \geq 16abcde$

$\leftrightarrow P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde} \geq 16$

Dấu "=" xảy ra khi

$e=2;d=1;c=0,5;b=a=0,25$

Bài 2:

$21^{2011} \equiv (-4)^{2011}(mod \ 25)=[(-4)^5]^{402}.(-4) \equiv
1^{402}.(-4)(mod \ 25)=-4(mod \ 25)$

Vậy $21^{2011}$ chia 25 dư -4