Bài 1:
Áp dụng bất đẳng thức:$(a+b)^2 \geq 4ab \leftrightarrow a=b$.Ta có:
$(a+b+c+d+e)^2 \geq 4(a+b+c+d)e$
$(a+b+c+d)^2 \geq 4(a+b+c)d$
$(a+b+c)^2 \geq 4(a+b)c$
$(a+b)^2 \geq 4ab$
Nhân các đơn thức ở vế trái và nhân các đơn thức ở vế phải ta được:
$[(a+b+c+d+e)(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)]^2 \geq 256(a+b+c+d)(a+b+c)
(a+b)abcde$
Vì $a;b;c;d;e >0$ nên ta chia cả 2 vế cho $(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)$ và
thay $a+b+c+d+e=4$ ta được:
$16(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b) \geq 256abcde$
$\leftrightarrow (a+b+c+d)(a+b+c)(a+b) \geq 16abcde$
$\leftrightarrow P=\dfrac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde} \geq 16$
Dấu "=" xảy ra khi
$e=2;d=1;c=0,5;b=a=0,25$
Bài 2:
$21^{2011} \equiv (-4)^{2011}(mod \ 25)=[(-4)^5]^{402}.(-4) \equiv
1^{402}.(-4)(mod \ 25)=-4(mod \ 25)$
Vậy $21^{2011}$ chia 25 dư -4