[Toán 8] Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

[zendavi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
D= 2[TEX]x^2[/TEX]+9[TEX]y^2[/TEX]-6[TEX]xy[/TEX]-6[TEX]y[/TEX]-12[TEX]y[/TEX]+20
E= [TEX]x^2[/TEX]-2[TEX]xy[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]+2[TEX]x[/TEX]-10[TEX]y[/TEX]+17
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
C= -3[TEX]x^2[/TEX]-2[TEX]y^2[/TEX]+[TEX]x[/TEX]-2[TEX]y[/TEX]-1
c, Chứng minh:
[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]x[/TEX]+1>0 ; 4[TEX]x[/TEX]-[TEX]x^2[/TEX]-5<0 ; với mọi [TEX]x[/TEX]
([TEX]x[/TEX]-3)([TEX]x[/TEX]+2)+8>0 với mọi [TEX]x[/TEX]
d,
Cho [TEX]x[/TEX]+2[TEX]y[/TEX]=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của K= [TEX]x^2[/TEX]+2[TEX]y^2[/TEX]

Nếu đc mọi ng giúp mình giải CHI TIẾT vs ạ, cảm ơn nhiều ạ T.T xl mn tại dạo này mình có dấu hiệu kém toán trầm trọng huhu T..T

 

[vipboycodon]

E = $x^2-2xy+2y^2+2x-10y+17$
= $(x^2-2xy+y^2+2x-2y+1)+(y^2-8y+16)$
= $(x-y)^2+2(x-y)+1+(y-4)^2$
= $(x-y+1)^2+(y-4)^2 \ge 0$
=> $E \ge 0$
Vậy Min E = 0 khi $y = 4$
=> $x-y+1 = 0$
<=> $x-4+1 = 0$
<=> $x = 3$
<=> [ $\begin{matrix} y = 4 \\ x = 3 \end{matrix}$

 

[nguyenbahiep1]

c, Chứng minh:[/I][/B]
[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]x[/TEX]+1>0 ; 4[TEX]x[/TEX]-[TEX]x^2[/TEX]-5<0 ; với mọi [TEX]x[/TEX]

[laTEX]x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0 \forall x \\ \\ 4x-x^2-5 = -1- ( x-2)^2 < 0 \forall x[/laTEX]

 

[braga]

$$\fbox{d}. \ \ 1=(x+y+y)^2\le 3(x^2+y^2+y^2)=3(x^2+2y^2)\implies K\ge \dfrac{1}{3}$$

 

[vipboycodon]

Đề có chút lỗi nha bạn.
D = $2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+20$
= $x^2+9y^2-6xy+4x-10x-12y+x^2+25-5$
= $(x^2-6xy+9y^2)+4(x-3y)+(x^2-10x+25)-5$
= $(x-3y)^2+4(x-3y)+4+(x-5)^2-9$
= $(x-3y+2)^2+(x-5)^2-9 \ge -9$
=> $D \ge -9$
Vậy Min D = -9 khi x = 5
=> $x-3y+2 = 0$
<=> $5-3y+2 = 0$
<=> $-3y = -7$
<=> $y = \dfrac{7}{3}$
<=> [ $\begin{matrix} x = 5 \\ y = \dfrac{7}{3} \end{matrix}$

 

[huy14112]

$$\fbox{d}. \ \ 1=(x+y+y)^2\le 2(x^2+y^2+y^2)=2(x^2+2y^2)\implies K\ge \dfrac{1}{2}$$

Chết hình như em xác nhận nhầm .

Có lẽ đúng ra phải là :

$(x+y+y)^2=1 \le 3(x^2+y^2+y^2) = 3(x^2+2y^2)$ $$ (Cauchy-schwarz)$$

$ \longrightarrow K \ge \dfrac{1}{3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{3}$

 

[congchuaanhsang]

Chết hình như em xác nhận nhầm .

Có lẽ đúng ra phải là :

$(x+y+y)^2=1 \le 3(x^2+y^2+y^2) = 3(x^2+2y^2)$ $$ (Cauchy-schwarz)$$

$ \longrightarrow K \ge \dfrac{1}{3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{3}$

Có thể tách kiểu khác:

Áp dụng Cauchy - Schwwarz:

$(x+2y)^2$=$(x+\sqrt{2}.\sqrt{2}y)^2$\leq$3(x^2+2y^2)$

\Leftrightarrow1\leq$3(x^2+2y^2)$\Leftrightarrow$x^2+2y^2$\geq$\dfrac{1}{3}$