[Toán 8]Số chính phương

[batuoctieuthu13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.CMR:mọi n thuộc N* :4^(2n)-3^(2n)-7 chia hết cho 168
2.Tìm n để: n(n+2) là số chính phương
THanks so much

 

[harrypham]

Bài 1 mình nghĩ rằng với mọi [TEX]n>1[/TEX] thì [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 168[/TEX].

 

[hiensau99]

1.CMR:mọi n thuộc N* :4^(2n)-3^(2n)-7 chia hết cho 168
2.Tìm n để: n(n+2) là số chính phương
THanks so much

Mình nghĩ đề bài ko sai đâu harrypham ạ
Ta có:
[TEX]4^{2n}=16^n \equiv 1 \pmod{3}[/TEX]
[TEX]3^{2n}= 9^n \equiv 0 \pmod{3}[/TEX]
[TEX]7 \equiv 1 \pmod{3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 1-0-1=0 \pmod{3} (1)[/TEX]


[TEX]4^{2n}=16^n \equiv 2^n \pmod{7}[/TEX]
[TEX]3^{2n}= 9^n \equiv 2^n \pmod{7}[/TEX]
[TEX]7 \equiv 0 \pmod{7}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 2^n-2^n-0=0 \pmod{7} (2)[/TEX]



[TEX]4^{2n}=16^n \equiv 0 \pmod{8}[/TEX]
[TEX]3^{2n}= 9^n \equiv 1 \pmod{8}[/TEX]
[TEX]7 \equiv -1 \pmod{8}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \equiv 0-1-(-1)=0 \pmod{8} (3)[/TEX]


Từ [TEX](1), (2), (3) [/TEX] và [TEX](3,7,8)=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 168[/TEX]

 

[harrypham]

1.CMR:mọi n thuộc N* :[TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 168[/TEX]

Xin lỗi, hơi nhầm, xá tội bằng cách khác. (Quy nạp)

+ Với [TEX]n=1[/TEX] thì [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7=0 \vdots 168.[/TEX]

+ Gỉả sử bài toán đúng đến [TEX]n=k[/TEX], tức [TEX]4^{2k}-3^{2k}-7 \vdots 168[/TEX].

Ta chứng minh bài toán đúng với [TEX]n=k+1[/TEX], tức [TEX]4^{2k+2}-3^{2k+2}-7 \vdots 168.[/TEX]

Thật vậy [TEX]4^{2k+2}-3^{2k+2}-7 = 3^2(4^{2k}-3^{2k}-7)+(7.4^{2k}+56) = 3^2(4^{2k}-3^{2k}-7)+ 7.8(2^{4k-3}+1)[/TEX].

Hiển nhiên [TEX]3^2(4^{2k}-3^{2k}-7) \vdots 168[/TEX] (theo giả thiết).

Ta chứng minh [TEX]7.8(2^{4k-3}+1)=56(2^{4k-3}+1) \vdots 168[/TEX], hay [TEX]2^{4k-3}+1 \vdots 3[/TEX].

Đến đây dùng đồng dư (nhận thấy 4k-3 cũng có thể viết được dưới dạng 4n+1)
[TEX]2^4=16 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow (2^4)^n.2+1 \equiv 0 \pmod{3}[/TEX].

Do đó [TEX]7.8(2^{4k-3}+1)=56(2^{4k-3}+1) \vdots 168[/TEX], nên [TEX]4^{2k+2}-3^{2k+2}-7 \vdots 168.[/TEX]

Kết luận với mọi số tự nhiên [TEX]n>1 [/TEX] thì [TEX]4^{2n}-3^{2n}-7 \vdots 168.[/TEX]