[Toán 8] Phương trình nghiệm nguyên

[duynhan1]

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[tex] 3x^2 + 2y^2 + z^2 + 4xy + 2yz = 26 - 2xz [/tex]

Gợi ý: Đưa về dạng [TEX]A^2 + B^2 + C^2 = 26[/TEX]


4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[TEX]x^6 + z^3 - 15x^2z = 3x^2 y^2 z - (y^2 + 5)^3[/TEX]
5. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:
[TEX]\left{ x+y = z \\ x^3 + y^3 = z^3 [/TEX]
6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]\frac{11}{5} x - \sqrt{2x+1} = 3y - \sqrt{4y-1} + 2[/TEX]

 

[harrypham]

1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[tex] x^2 + 2y^2 + 3xy+3x+5y= 14 [/tex]

Vừa mới nghĩ ra được một cách cho bài này (không ngắn gọn bằng cách của tuyn).

Cộng 2 vào cả 2 vế ta có [TEX](x+y+2)(x+2y+1)=16[/TEX].

 

[bboy114crew]

Bài 1:Tìm K thuộc N* để pt [tex] x^2+xy+y^2=k(xy-1) [/tex] có nghiệm là số chính phương
Bài 2: Tìm k thuộc N* để pt [tex] {(x+y)}^3 =x(1+4y) [/tex] có nghiệm x,y thuộc N*.

 

[tuyn]

4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[TEX]x^6 + z^3 - 15x^2z = 3x^2 y^2 z - (y^2 + 5)^3[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow x^6+x^3+(y^2+5)^3=3x^2z(y^2+5)[/TEX]
Áp dụng BDT Cauchy cho 3 số ở vế trái.Suy ra: VT \geq VP
[TEX]PT \Leftrightarrow x^6=z^3=(y^2+5)^3 \Leftrightarrow x^2=z=y^2+5[/TEX]
Ta có: [TEX]x^2=y^2+5 \Leftrightarrow (x-y)(x+y)=5[/TEX]
[TEX]+) \left{\begin{x-y=1}\\{x+y=5}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=3,y=2 \Rightarrow z=9[/TEX]
[TEX]+) \left{\begin{x-y=5}\\{x+y=1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=3,y=-2 (loai)[/TEX]
Vậy PT có nghiệm: [TEX](x;y;z)=(3;2;9)[/TEX]

5. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:
[TEX]\left{ x+y = z \\ x^3 + y^3 = z^3 [/TEX]

[TEX]z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=z^3-3xyz \Leftrightarrow xyz=0[/TEX]
[TEX]+) x=0 \Rightarrow y=z[/TEX]
[TEX]+) y=0 \Rightarrow x=z[/TEX]
[TEX]+) z=0 \Rightarrow x=-y[/TEX]
Vậy PT có tập nghiệm:
[TEX]S={(k;-k;0),(k;0;k);(0;k;k)| k \in N^*}[/TEX]

 

[duynhan1]

6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
[TEX]\frac{11}{5} x - \sqrt{2x+1} = 3y - \sqrt{4y-1} + 2[/TEX]

Gợi ý: Ta để ý với [TEX]y \in Z[/TEX] thì [TEX]4y-1[/TEX] không thể là số chính phương.
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì:
[TEX]\sqrt{2x+1} - \sqrt{4y-1} [/TEX] là số hữu tỉ [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+1} = \sqrt{4y-1} [/TEX]

7. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[TEX]x^2(y+3) = yz^2 [/TEX]
8. Tìm các giá trị nguyên a, b, c, d trong đó a khác b để phương trình [TEX](x+ay+c)(x+by+d) = 2[/TEX] có đúng 4 nghiệm nguyên khác nhau.
9. Tìm các số có dạng [TEX]\overline{xyz} [/TEX] sao cho: [TEX]2.\overline{xyz} = \overline{yzx} + \overline{zxy}[/TEX]

 

[harrypham]

Gợi ý: Ta để ý với [TEX]y \in Z[/TEX] thì [TEX]4y-1[/TEX] không thể là số chính phương.
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì:
[TEX]\sqrt{2x+1} - \sqrt{4y-1} [/TEX] là số hữu tỉ [TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+1} = \sqrt{4y-1} [/TEX]

7. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
[TEX]x^2(y+3) = yz^2 [/TEX]

Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng [TEX]x=x \sqrt{\frac{y+3}{y}}[/TEX].

Do x nguyên nên để z nguyên thì đk cần là [TEX]\sqrt{\frac{y+3}{y}}[/TEX] phải là một số hữu tỉ. Do đó [TEX]y+3=k^2, \ y=l^2[/TEX] với k,l là các số nguyên dương.

Từ đó [TEX]k^2-l^2=3 \Leftrightarrow (k+l)(k-l)=3[/TEX].
Từ đây dễ dàng tìm được [TEX]y=1[/TEX].

Dễ dàng đưa đến kết luận pt có nghiệm nguyên dương là [TEX](p,1,2p)[/TEX] với p là số nguyên dương bất kì.