Toán 8 - Phân tích thành nhân tử

B

boy_100

[TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài ba cạnh tam giác đều nên [TEX]a,b,c>0[/TEX].
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số ta có: [TEX]a+b \ge 2 \sqrt{ab}, b+c \ge 2 \sqrt{bc}, c+a \ge 2 \sqrt{ca}[/TEX].
Do đó [TEX](a+b)(b+c)(c+a) \ge 2 \sqrt{ab} \cdot 2 \sqrt{bc} \cdot 2 \sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc[/TEX].
Dấu đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
=> Là tam giác đều/
 
C

congchuaanhsang

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác và (a+b)(b+c)(c+a)=8abc. Hỏi tam giác đó là tam giác gì?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...



$(a+b)(b+c)(c+a)=8abc$

\Leftrightarrow $a^2b+b^2c+c^2a+b^2a+c^2b+a^2c=6abc$

Theo Cauchy 6 số:

$a^2b+b^2c+c^2a+b^2a+c^2b+a^2c \ge 6abc$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c$

\Leftrightarrow $\Delta$ABC đều
 
H

huynhbachkhoa23

$a,b,c>0$

Theo Holder: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt[3]{abc})^3=8abc$

Suy ra $a=b=c>0$

Đều.
 
T

transformers123

huynhbachkhoa23 said:
$a,b,c>0$

Theo Holder: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt[3]{abc})^3=8abc$

Suy ra $a=b=c>0$

Đều.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
đối với mấy đứa mới lên lớp 8 thì Holder là cái bếp gì thế=))

cách khác (áp dụng bđt Cauchy 3 số):

ta có:

$VT=(a+b)(b+c)(c+a)$

$\iff VT =(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

$\iff VT \ge 3\sqrt{abc}.3\sqrt{a^2b^2c^2}-abc$

$\iff VT \ge 9abc-abc$

$\iff VT \ge 8abc\ (\mathfrak{dpcm})$

dấu "=" xảy ra khi $a=b=c \leftrightarrow \Delta$ đó đều
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom