toán 8 khó

[hoangnghiamanh308@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x+y=2$ CMR $x^{2015}+ y^{2015} \leqslant x^{2016}+ y^{2016}$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Giả sử điều cần cm là đúng :
[tex](x^{2015}+y^{2015}) \leq (x^{2016}+y^{2016}) \\2(x^{2015}+y^{2015}) \leq 2(x^{2016}+y^{2016}) \\\Rightarrow (x+y)(x^{2015}+y^{2015}) \leq 2x^{2016}+2y^{2016} \\\Rightarrow x^{2016}+y^{2016}+xy^{2015}+yx^{2015}\leq 2x^{2016}+2y^{2016} \\\Rightarrow x^{2016}+y^{2016}-xy^{2015}-yx^{2015} \geq 0 \\\Rightarrow x^{2015}(x-y)-y^{2015}(x-y) \geq 0 \\\Rightarrow (x-y)(x^{2015}-y^{2015}) \geq 0 \\\Rightarrow (x-y)^2(x^{2014}+x^{2013}y+....+y^{2014}) \geq 0[/tex]

Điều này hiển nhiên đúng do từng nhân tử $\geq 0$ do đó có điều phải chứng minh.
Dấu '=' khi $x=y$