[Toán 8] $\frac{a + b}{2}. \frac{a^2 + b^2}{2} . \frac{a^3 + b^3}{2} \leq \frac{a^6 + b^6}{2}$

[p.i.e_66336]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng $ \forall \ a,b \in \ \mathbb{R}$ luôn có :

$\dfrac{a + b}{2}. \dfrac{a^2 + b^2}{2} . \dfrac{a^3 + b^3}{2} \leq \dfrac{a^6 + b^6}{2}$

 

[vy000]

ta có:

$(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \ge 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(a^3+b^3) \le 2(a^4+b^4) $

$\Rightarrow (a+b)(a^3+b^3)(a^2+b^2) \le 2(a^4+b^4)(a^2+b^2) (1)$

Lại có
$(a^2-b^2)^2(a^2+b^2) \ge 0$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2)(a^4+b^4) \le 2(a^6+b^6) (2)$

$(1);(2) \Rightarrow (a+b)(a^3+b^3)(a^2+b^2) \le 4(a^6+b^6)$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b)(a^3+b^3)(a^2+b^2)}8 \le \dfrac{a^6+b^6}2$