Toán Toán 8 Dùng bất đẳng thức phụ

[Shin Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $$1\leq a, b, c, d \leq 2$$. Tìm max
$$B=(a+b+c+d)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})$$
2. Cho a,b,c>0. CMR:
$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

 

[Shin Nguyễn]

1. Cho a,b,c>0 và $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3. CMR 3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 15$$
2.
Cho a,b,c>0 và $$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3. CMR 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 27$$
3.
Cho a,b,c>0 và $$a+b+c=3$$. CMR:
$$\frac{10a}{1+a^2}+\frac{10b}{1+b^2}+\frac{10c}{1+c^2}\leq 9$$
4. Với $$x,y,z> 0; x+2y+3z=\frac{1}{4}$$, tìm GTLN:
$$M=\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}$$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

1. Cho a,b,c>0 và $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3. CMR 3(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 15$$
2.
Cho a,b,c>0 và $$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3. CMR 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 27$$
3.
Cho a,b,c>0 và $$a+b+c=3$$. CMR:
$$\frac{10a}{1+a^2}+\frac{10b}{1+b^2}+\frac{10c}{1+c^2}\leq 9$$
4. Với $$x,y,z> 0; x+2y+3z=\frac{1}{4}$$, tìm GTLN:
$$M=\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}$$

1)Ta sẽ đi chứng minh bđt phụ sau:
$$3x+\dfrac{2}{x} \geq \dfrac{x^2+9}{2} \\\Rightarrow \dfrac{(x-1)^2(4-x)}{2x} \geq 0$$
Điều này hiển nhiên đúng với mọi $x \geq \sqrt{3}$.
Do đó áp dụng vào:
$$P \geq \dfrac{\sum a^2}{2}+\dfrac{9.3}{2}=15$$
Dấu '=' khi $a=b=c=1$.

 

[Ma Long]

4. Với $$x,y,z> 0; x+2y+3z=\frac{1}{4}$$, tìm GTLN:
$$M=\frac{232y^3-x^3}{2xy+24y^2}+\frac{783z^3-8y^3}{6yz+54z^2}+\frac{29x^3-27z^3}{3xz+6x^2}$$

Giải:
4, Đặt:
$x=a,2y=b,3z=c$
Bài toán trở thành
Cho a,b,c>0 và $a+b+c=\dfrac{1}{4}$ Tìm GTLN
$$M=\dfrac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}+\dfrac{29c^3-b^3}{bc+6c^2}+\dfrac{29a^3-c^3}{ca+6a^2}$$
Ta CM BĐT phụ:
$$\dfrac{29b^3-a^3}{ab+6b^2}\leq 5b-a\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0$$
Suy ra
$$M\leq 4(a+b+c)=1$$
$Max=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{12}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{12},y=\dfrac{1}{24},z=\dfrac{1}{36}$

2.
Cho a,b,c>0 và $$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3. CMR B= 5(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 27$$

Giải:
2, Chứng minh BĐT phụ:
$5a^2+\dfrac{4}{a}\geq 2a^3+7\Leftrightarrow (a-1)^2(2a^2-a-4)\leq 0\vee a< \sqrt[3]{3}$
Suy ra
$B\geq 2(a^3+b^3+c^3)+21=27$
dpcm.
3, ý 3 với a=b=c=1, thì VT=15>9

 

[Shin Nguyễn]

1. Cho a,b,c>0 và $$\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\geq 1$$. CMR:
$$a+b+c\geq ab+bc+ca$$
2. Cho a,b,c>0. CMR:
$$\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2b^2+ca}+\frac{1}{2c^2+ab}\leq (\frac{a+b+c}{ab+bc+ca})^{2}$$
Cảm ơn mọi người ạ

 

[maloimi456]

2. Cho a,b,c>0. CMR:
$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$$

Áp dụng BĐT Sơ-vác, Ta có:
$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$$ (*)
Mặt khác: $$3(a+b)(b+c)(c+a)>0$$ (Với mọi a,b,c > 0)
$$=> (a+b+c)^3>(a^3+b^3+c^3)$$ (1)
Áp dụng BDT Bunhia Copski, Ta có:
$$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$$ (2)
Nhân vé theo vế của (1)(2), Ta có:
$$(a^2+b^2+c^2).(a+b+c)^3\geq 3(a^3+b^3+c^3).(a+b+c)^2$$
$$<=> (a^2+b^2+c^2).(a+b+c)^2\geq 3(a^3+b^3+c^3).(a+b+c)$$ (vì $$a+b+c \neq 0$$)
$$<=> \frac{(a+b+c)^2 }{2(a+b+c)}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$$ (**)
Từ (*)(**) => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c