Toán 8- đề thi hsg

[hohoo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho $a \ne b \ne c $ thỏa mãn [TEX]\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1[/TEX]
thì 2 phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1
2) Cho x;y;z>0 và xyz=1
Tìm Max A= [TEX]\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}[/TEX]

3)a) Cho 0\leqa;b;c\leq1 .CMR [TEX]a^2+b^2+c^2\leq1+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

b) Cho[TEX]0<a_0<a_1<...<a_{1997}[/TEX]. CMR [TEX]\frac{a_0+a_1+...+a_{1997}}{a_2+a_5+a_8+...+a_{1997}}<3[/TEX]

4) Tìm nghiệm nguyên dương của pt
[TEX]\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}=\frac{3}{4}[/TEX]

 

[su10112000a]

3)a) Cho 0\leqa;b;c\leq1 .CMR [TEX]a^2+b^2+c^2\leq1+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

đã giải tại đây=)):http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=361285&page=26
bài 2 phải là tìm min chứ nhỉ nếu thế thì mình làm còn tìm max thì mình nhường bạn khác=))

 

[buivanbao123]

Bài 2 phải tìm Min mới đúng
Ta luôn có bđt $x^{3}+y^{3}$ \geq xy(x+y)

\Leftrightarrow $x^{3}+y^{3}+1$ \geq xy(x+y+z)

Tương tự $y^{3}+z^{3}+1$ \geq yz(x+y+z)

$z^{3}+x^{3}+1$ \geq zx(x+y+z)

BĐT $\le \dfrac{1}{(x+y+z)}$.$(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx})$

$\le \dfrac{1}{(x+y+z)}.(x+y+z) \le 1$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

AD BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{x}{2x+y+z} =\sum \dfrac{x^2}{2x^2+xy+xz} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{2(\sum x^2)+2 (\sum xy)} \ge \dfrac{3 (\sum xy)}{4 (\sum xy)}=\dfrac{3}{4}$

$\rightarrow x=y=z$

 

[su10112000a]

Bài 4:

AD BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{x}{2x+y+z} =\sum \dfrac{x^2}{2x^2+xy+xz} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{2(\sum x^2)+2 (\sum xy)} \ge \dfrac{3 (\sum xy)}{4 (\sum xu)}=\dfrac{3}{4}$

$\rightarrow x=y=z$

u ở đâu vậy bạn phải là y chứ=))....................................

 

[junmatngu]

1) Cho $a \ne b \ne c $ thỏa mãn [TEX]\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1[/TEX]
thì 2 phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1
2) Cho x;y;z>0 và xyz=1
Tìm Max A= [TEX]\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}[/TEX]

3)a) Cho 0\leqa;b;c\leq1 .CMR [TEX]a^2+b^2+c^2\leq1+a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

b) Cho[TEX]0<a_0<a_1<...<a_{1997}[/TEX]. CMR [TEX]\frac{a_0+a_1+...+a_{1997}}{a_2+a_5+a_8+...+a_{1997}}<3[/TEX]

4) Tìm nghiệm nguyên dương của pt
[TEX]\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+x+y}=\frac{3}{4}[/TEX]

mình giải bài 1 nha

$\frac{(b-c)^2-a^2}{2bc}$ +$\frac{(a-c)^2-b^2}{2ac}$ + $\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}$ =0
\Leftrightarrow $\frac{(a+b-c)(b-c-a)}{2bc}$ + $\frac{(a-b-c)(a+b-c)}{2ac}$ + $\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}$ =0
\Leftrightarrow (a+b-c)($\frac{(b-c-a)}{2bc}$ + $\frac{(a-b-c)}{2ac}$ + $\frac{(a+b+c)}{2ab}$ =0
Quy đồng và rút gọn ta được (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=0 \Rightarrow ..........

ta có TH1 thế a+b=c ta được
\Leftrightarrow $\frac{b^2+c^2 -a^2}{2bc}$ = $\frac{(a+b)^2 +b^2-a^2}{2bc}$ = $\frac{2b(a+b)}{2cb}$ = 1

Mấy phân thức cũng vậy .....
Tương tự mấy trường hợp kia ........
mình đáng mỏi tay quá r !
nhớ cảm ơn giùm mình nha

 

[hohoo]

Bài 2 phải tìm Min mới đúng
Ta luôn có bđt $x^{3}+y^{3}$ \geq xy(x+y)

\Leftrightarrow $x^{3}+y^{3}+1$ \geq xy(x+y+z)

Tương tự $y^{3}+z^{3}+1$ \geq yz(x+y+z)

$z^{3}+x^{3}+1$ \geq zx(x+y+z)

BĐT \geq
$\dfrac{1}{(x+y+z)}$.$(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx})$

\geq $\dfrac{1}{(x+y+z)}.(x+y+z)$ \geq 1

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1

Phân số mà bạn Max đúng rồi
..............................................................................

 

[huynhbachkhoa23]

u ở đâu vậy bạn phải là y chứ=))....................................

Giống bác hôm trước thôi =))

..........................................................

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2 phải tìm Min mới đúng
Ta luôn có bđt $x^{3}+y^{3}$ \geq xy(x+y)

\Leftrightarrow $x^{3}+y^{3}+1$ \geq xy(x+y+z)

Tương tự $y^{3}+z^{3}+1$ \geq yz(x+y+z)

$z^{3}+x^{3}+1$ \geq zx(x+y+z)

BĐT \geq $\dfrac{1}{(x+y+z)}$.$(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx})$

\geq $\dfrac{1}{(x+y+z)}.(x+y+z)$ \geq 1

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1

Ngược dấu rồi anh.

$A \le \dfrac{1}{\sum x}(\sum \dfrac{1}{xy}) = \dfrac{1}{\sum x}(\sum x)=1$

 

[duchieu300699]

3)
b) Cho[TEX]0<a_0<a_1<...<a_{1997}[/TEX]. CMR [TEX]\frac{a_0+a_1+...+a_{1997}}{a_2+a_5+a_8+...+a_{1997}}<3[/TEX]

Có $A=\dfrac{a_0+a_1+...+a_{1997}}{a_2+a_5+a_8+...+a_{1997}}=1+\dfrac{a_0+a_1+...+a_{1996}}{a_2+a_5+a_8+...+a_{1997}}$

Mặt khác: $2a_2>2a_1>a_1+a_0$.

Tương tự $2a_5>a_3+a_4$

.....

$2a_{1997}>a_{1996}+a_{1995}$


Cộng vế theo vế ta được $2(a_2+a_5+...+a_{1997})>a_0+a_1+a_3+...+a_{1996}$

Vậy $\dfrac{a_0+a_1+a_3+...+a_{1996}}{a_2+a_5+...+a_{1997}}<2$

Suy ra $A<3$