[Toán 8] Đề thi học sinh giỏi

Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
[TEX]A = (\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b})(\frac{c}{a-b} + \frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a}) = 9[/TEX]


Bài 3: (2 điểm)
Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
________________________________

BÀi 2:
Ta có:[tex](\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b}).\frac{c}{a-b}[/tex]
=[tex] 1+\frac{c}{a-b}.\frac{b^2-bc+ac-a^2}{ab}[/tex]
==[tex] 1+\frac{c}{a-b}.\frac{(a-b)(c-a-b)}{ab}[/tex]
=[tex] 1+\frac{2c^2}{ab}[/tex]
Tương tự ta có
:[tex](\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b}).\frac{a}{b-c}[/tex]
=[tex]1+\frac{2a^2}{bc}[/tex]
:[tex](\frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b}).\frac{b}{c-a}[/tex]
=[tex] 1+\frac{2b^2}{ac}[/tex]
Cộng lại là đc.
Bài 3:
Gọi x(km/h) là vận tốc ban đầu của xe đó.
ĐK: x>0
Theo đề bài ta có PT:
[tex]\frac{60}{x}=\frac{30}{x+10}+\frac{30}{x-6}[/tex]
giải PT là đc.
​

 

Ta có:

[TEX]A = 1 + \frac{(a-b)a}{(b-c).c} +\frac{(a-b)b}{c(c -a} +1 + \frac{(b -c)c}{a(a - b} + \frac{(b -c)b}{a(a -b)} + 1 + \frac{(c -a)c}{(a - b)b} + 1 + \frac{(c -a)a}{(b -a)b}[/TEX]

Giờ ta nhóm !
[TEX](\frac{(a-b)b}{c(c -a}+ \frac{(b -c)b}{(c -a)a} ) = \frac{2b^3}{abc}[/TEX]
Sau đó nhóm tiếp các hạng tử như trên đc

[TEX]A = 3 +\frac{2a^3}{abc} +\frac{2b^3}{abc} + \frac{2c^3}{abc}[/TEX]
[TEX]A = 3 + 2.\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}[/TEX]
Do a +b + c = 0
=> [TEX]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/TEX]
=> [TEX]A = 3 + 2.\frac{3abc}{abc}[/TEX]
=> A = 3 + 6 = 9 (đpcm)

(p/s: nhờ mod sửa hộ bài ! Ko đánh text đc ! Máy bị sao ấy)

 

Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
________________________________________________

Dễ cm tam giác AEF vuông cân ở A mà AI là trung tuyến
=> NE = NF (1)
FM = ME (2)
Mặt khác có : Tam giác INE = tam giác IMF
=> NE = FM (3)
Từ (1) và (2) và (3)
=> (đpcm)
b)
ME = FM = DM + FD = DM + BE
=> ME + MC + EC = MD + MC + CE + BE = DC + BC = 2DC = 2BC (ko đổi)
Tới đây tự biện luận !

 

Kì thi chọn đội tuyển trường THCS chuyên Trần Đại NghĩaMôn: Toán 8​

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)[tex]\large x^4-6x^2+25[/tex]
b)[tex]\large (x^2-x+2)^2 +(x-2)^2[/tex]

2. a)Cm đẳng thức
[tex]\large \frac {1}{(a-b)^2}+\frac {1}{(b-c)^2}+\frac {1}{(c-a)^2}=(\frac {1}{a-b}+\frac {1}{b-c}+\frac {1}{c-a})^2[/tex]

b) Chứng minh rằng [tex]\large 2003.2004.2005.2006+1[/tex]là một số chính phương

3. Tính giá trị của biểu thức sau
[tex]\large A=(1- \frac{1}{1-\frac {2004}{1}})(3- \frac{1}{1-\frac {2004}{3}})....(9999- \frac{1}{1-\frac {2004}{9999}})[/tex]

4. Cho a,b là 2 số dương.CMR
[tex]\large \frac {a}{b}+ \frac{b}{a}[/tex] \geq [tex]\large 2+ \frac {2003(a-b)^2}{a^2+4004ab+b^2}+ \frac {2004(a-b)^2}{a^2+4006ab+b^2}[/tex]

5. Cho :delta ABC có AM, AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD ở E. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AM tại F. Chứng minh
a)góc ABC= 90
b) 3 điểm E,F,C thẳng hàng

6. Cho :delta ABC có các trung tuyến AM và BN sao cho góc CAM= góc CBN=30. Chứng minh ABC là tam giác đều.

(Chúc các bạn thành công trong học tập)

 

[TEX]\blue VP \leq 2+ \frac{2003(a-b)^2}{2ab+4004ab} + \frac{2004(a-b)^2}{2ab+4006ab}=2+\frac{(a-b)^2}{ab} =\frac{a^2+b^2}{ab}=VT[/TEX]

 

Tớ giải bằng cách này các cậu xem sao nhé:
[TEX]A=(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b})(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a})[/TEX]

[TEX]=(\frac{ab(a-b)+ac(c-a)+bc(b-c)}{abc})(\frac{c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)})[/TEX]

[TEX]=(\frac{{a}^{2}b-a{b}^{2}+a{c}^{2}-{a}^{2}c+{b}^{2}c-b{c}^{2}-abc+abc}{abc})(\frac{b{c}^{2}+a{c}^{2}+{a}^{2}c+{a}^{2}b+a{b}^{2}+b{c}^2-{a}^{3}-{b}^{3}-{c}^{3}}{(a-b)(b-c)(c-a)})[/TEX]

[TEX]=(\frac{b(a^2-ab+bc-ac)-c(bc-ac+{a}^{2}-ab)}{abc})(\frac{b{c}^{2}+a{c}^{2}+{a}^{2}c+{a}^{2}b+a{b}^{2}+b{c}^{2}+abc+abc+abc-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)})[/TEX]

[TEX]=(\frac{(b-c)[a(a-b)-c(a-b)]}{abc})(\frac{ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(a+b+c)-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)})[/TEX]

[TEX]=-(\frac{(a-b)(c-a)(b-c)}{abc})(\frac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)})[/TEX]

=9
Thế là xong rồi đấy.

 

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) [TEX]x^2 - 4x + 4 = 25[/TEX]
b) [TEX]\frac{x-17}{1990} + \frac{x-21}{1986} + \frac{x+1}{1004} = 4[/TEX]
c) [TEX]4^2 - 12x.2^x + 32 =0[/TEX]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1:
a) x = {-3;7}
b) x = {2007}
c) hình như bạn chép đề sai. Đây mới là đề đúng:
4^x - 12x.2^x + 32 =0
\Leftrightarrow 2^x. 2^x - 4.2^x - 8.2x+4.8 = 0
\Leftrightarrow 2^x(2^x-4) - 8(2^x-4) = 0
\Leftrightarrow (2^x-2^2) - (2^x-2^3) = 0
\Leftrightarrow 2^x - 2^2 = 0\Leftrightarrow x= 2>-
\Leftrightarrow 2^x-2^2 =0 \Leftrightarrow x= 3>-
\Rightarrow S= {2; 3}
Nhớ Thanks nha !!!!!!

 

Mình làm bài này nhá! Dùng phương pháp kẹp giữa 2 đẳng thức:

Giải: Xét, ta có : x^6 + 3x^2 + 1 > x^6

+ Nếu x \geq 2 thì : x^6 + 2x^3 +1 > x^6 + 3x^2 + 1
2x > 3
x > 1,5
Khi đó=> x^6 < y^4 = x^6 + 3x^2 + 1 < (x^3 +1)^2
Vì x^6 và (x^3 +1)^2 là số chính phương liên tiếp
=> không có y
+ Nếu x \leq -2 thì : x^6 + 3x^2 + 1 < x^6 - 2x^3 +1
x < -1,5
Khi đó=> x^6 < y^4 = x^6 + 3x^2 + 1 < (x^3 -1)^2
Vì x^6 và (x^3 -1)^2 là số chính phương liên tiếp
=> không có y
Ta có -2 < x < 2. mà x thuộc Z=> x thuộc ( -1; 0 : 1)

Thử: x=1 => y^4 =5 ( không tm)
x=1 => y^4 =5 ( không tm)
x=0 => y^4 =1 => y=1 hoặc y=-1
Vậy x=0, y= 1 hoặc y=-1