[toán 8]Đề chọn HSG dự thi OLYMPIC TOÁN SINGAPORE mở rộng năm 2010

[trydan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho nhân số đó cho 135 thì được 1 số chính phương.
b) Tìm số tự nhiên M biết M chia hết cho 5, M chia hết cho 49 và M có 10 ước số.
Câu 2: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó, số sau lớn hơn số trước k đơn vị, CMR: k chia hết cho 6.
Câu 3: Cho a,b,c không đồng thời bằng 0 và a+b+c=0. Tính:
[TEX]\frac{a^2}{a^2 -b^2-c^2} + \frac{b^2}{b^2-c^2-a^2} + \frac{c^2}{c^2-b^2-a^2} [/TEX]
Câu 4: Lập dãy số [TEX]a_1, a_2, a_3 ........ [/TEX]bằng cách sau: [TEX]a_1=2[/TEX], và mỗi số tự nhiên n lớn hơn hoặc bằng 2 thì chọn số[TEX] a_n[/TEX] là số nguyên tố lớn nhất của số : [TEX]a_1.a_2...a_{n-1} +1[/TEX].CMR trong dãy trên không có số 5.
Câu 5: Cho hình vuông có độ dài đường chéo bằng a không đổi. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của Chu vi tứ giác ABCD.
Câu 6: Cho 1 lục giác lồi tùy ý, nối trung điểm của mỗi cạnh với trung điểm của 2 cạnh kề với cạnh đối diện nó ta được 2 tam giác. CMR: Trọng tâm của 2 tam giác này trùng nhau.
ai giải được hết là học sinh siêu giỏi. >-

 

[01263812493]

chém dc bài 3
từ[TEX]a+b+c=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=-(b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2=b^2+2bc+c^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2 - b^2 - c^2 = 2bc[/TEX]
tương tự:
[TEX]b^2 - c^2- a^2=2ac[/TEX]
[TEX]c^2- b^2 - a^2=2ab[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{a^2 - b^2 - c^2} + \frac{b^2}{b^2 - c^2- a^2} + \frac{c^2}{c^2- b^2 - a^2}[/TEX]

[TEX]= \frac{a^2}{2bc} + \frac{b^2}{2ac} + \frac{c^2}{2ab}[/TEX]

[TEX]= \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]= \frac{(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]= \frac{(-c)^3 + 3abc +c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]=\frac{3}{2}[/TEX]

 

[quan8d]

Ta có: [tex]a_1[/tex] =2 , [tex]a_2[/tex]=3, giả sử với n\geq3 nào đó có 5 là ước nguyên tố lớn nhất của số A= 2.3. [tex]a_3[/tex]... [tex]a_n-1[/tex] +1 thì A không thể chia hết cho 2 và 3 . Suy ra chỉ có thể xảy ra A= [tex]5^m [/tex] với m \geq 2 nên A-1=[tex]5^m[/tex] -1chia hết cho 5-1=4 . Mặt khác : A-1=2.3. [tex]a_3[/tex]... [tex]a_n-1[/tex] không chia hết cho 4 vì [tex]a_3[/tex],... , [tex]a_n-1[/tex] laf cacs số lẻ không chia hết cho 2.Vậy A không có ước nguyên tố lớn nhất là 5 .

2. Ta có số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng là 6m+1 hoặc 6m+5 .Mà có 3 số nguyên tố a, a+k,a+2k nên phải có ít nhất 2 số có cùng 1 dạng . Xét hiệu 2 số đó ta được k hoặc 2k chia hết cho 6 ( vì có cùng số dư khi chia cho 6)
Vậy k chia hết cho 6

Vì M chia hết cho 5 và 49 nên M = [tex]5^x.7^y[/tex] ( x,y [tex]\in \ N^*[/tex], x\geq1, y\geq2) .Do M có 10 ước số nên (x+1)(y+1)=10=2.5
Suy ra :
[TEX]\left{\begin{x+1=2}\\{y+1=5} [/TEX]
nên x=1, y=4
Vậy M = [tex]5.7^4[/tex]=12005

 

[01263812493]

2. Ta có số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng là 6m+1 hoặc 6m+5 .Mà có 3 số nguyên tố a, a+k,a+2k nên phải có ít nhất 2 số có cùng 1 dạng . Xét hiệu 2 số đó ta được k hoặc 2k chia hết cho 6 ( vì có cùng số dư khi chia cho 6)
Vậy k chia hết cho 6

nếu số nguyên tố đó là 5 thì sao bạn

bạn xem lại sao có dạng 6m+1 và 6m+5

 

[quan8d]

chà kém thế !!! vì -1 [tex]\equiv 5[/tex] (mod 6) nên 6m-1[tex]\equiv6m+5[/tex] (mod 6)

 

[01263812493]

chà kém thế !!! vì -1 [tex]\equiv 5[/tex] (mod 6) nên 6m-1\equiv 6m+5[/tex] (mod 6)

-1 chia 6 dư là -1
5 chia 6 dư 5
vậy thì tại sao -1 đồng dư với 5 dc nhỉ
có chỗ nào mình sai hok

????

 

[sockchild]

chém dc bài 3
từ[TEX]a+b+c=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=-(b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2=b^2+2bc+c^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2 - b^2 - c^2 = 2bc[/TEX]
tương tự:
[TEX]b^2 - c^2- a^2=2ac[/TEX]
[TEX]c^2- b^2 - a^2=2ab[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a^2}{a^2 - b^2 - c^2} + \frac{b^2}{b^2 - c^2- a^2} + \frac{c^2}{c^2- b^2 - a^2}[/TEX]

[TEX]= \frac{a^2}{2bc} + \frac{b^2}{2ac} + \frac{c^2}{2ab}[/TEX]

[TEX]= \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]= \frac{(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]= \frac{(-c)^3 + 3abc +c^3}{2abc}[/TEX]

[TEX]=\frac{3}{2}[/TEX]

sao kì vậy ta
a+b+c=0
\Rightarrow a=-(b+c)
\Rightarrow a^2=(-(b+c))^2
\Rightarrow a^2= -b^2-2bc-c^2

 

[01263812493]

sao kì zậy

[tex] [-(b+c)]^2=(b+c)^2 [/tex] mà bạn

hay mình sai

hay bạn nhầm

 

[bidanhyp]

Thế không ai giải được bài hình nào à?
để mình giải cho bài hình đầu tiên này (bài này mình có 3 cách mình sẽ giải cho các bạn cách dễ hiểu nhất rồi hai cách còn lại các bạn tự giải nếu muốn tìm hiểu thì liên lạc với tớ)
Gọi I, H,K lần lượt là trung điểm của MQ,MP,NP
\RightarrowAI=1/2MQ;CK=1/2PN(tam giác AQM và CNP vuông)
và IH=1/2PQ;HK=1/2MN
mà AI+IH+HK+KC>hoặc = AC
\Rightarrowcv NMPQ nhỏ nhất =2a và I,H,K thẳng hàng
Mặt khác chỉ có hình chữ nhật có hai trung điểm hai cạnh bên và trung điểm đường chéo thẳng hàng

 

[liarboy_96]

cau 1 a ket wa~ la` so' 15. vj` so 15x135=2025 ma` can bac hai kua~ 2025 la`45^^!