[Toán 8] Đề chọn đội tuyển toán 8 vòng 3 trường THCS BD

[hoamattroi_3520725127]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Thời gian : 150 phút


Bài 1 : (2 điểm)

A) Tìm số nguyên dương A nhỏ nhất sao cho A chia hết cho 6 và 1000 A là số chính phương

B) Tìm số nguyên dương B nhỏ nhất sao cho B - 1 không là bội của 9; B là bội của 4 số nguyên tố liên tiếp và 2002B là số chính phương.

Bài 2: (2 điểm)
Cho $a^2 - 4a + 1 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a^4 + a^2 + 1}{a^2}$

Bài 3: (2 điểm)

Tìm số tự nhiên n để $n^5 - n + 2$ là số chính phương

Bài 4: (5 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n - 41 là 2 số chính phương

b) Cho $f(x) = \dfrac{x^3}{1 - 3x + 3x^2}$. Hãy tính giá trị của biểu thức $A = f(\dfrac{1}{2012}) + f(\dfrac{2}{2012}) + ... + f(\dfrac{2010}{2012}) + f(\dfrac{2011}{2012})$

c) Cho a,b,c là số dương có tích bằng 1. CMR : $(a + 1)(b + 1)(c + 1) \ge 8$

Bài 5 : (3 điểm)

Cho a + 1 \geq 1. CMR : $a^4 + b^4 \ge \dfrac{1}{8}$

Bài 6 : (1 điểm) CMR : $\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} > a + b + c$ với mọi a,b,c > 0

Bài 7: (1 điểm) Cho $x^2 + y^2 = 1$.Tìm Min; Max của $x^6 + y^6$

Bài 8: (3 điểm)

Cho 4 đường thẳng theo thứ tự $m_1; m_2; m_3; m_4$ đồng quy tại O và theo chiều quay của kim đồng hồ. Các điểm $A_1; A_2; A_3; A_4$ lần lượt trên $m_1; m_2; m_3; m_4$ sao cho $A_1A_2 // m_4; A_2A_3 // m_1; A_3A_4 // m_2$. Đường thẳng qua $A_4$ song song với $m_3$ cắt $m_1$ tại $A_5$. CMR :

$\dfrac{OA_5}{OA_1} \le 1/4$


Bài 9: (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có M, N là giao điểm của các cặp cạnh đối AB và CD; AD và BC. Đường thẳng AC cắt BD; MN lần lượt tại I; J. CMR : $\dfrac{IA}{IC} = \dfrac{JA}{JC}$

P.s : Bạn nào làm hết đề này thì giỏi quá ấy. Đáng khâm phục

 

[etete]

1b 2002 b = 2 . 7 . 11. 13 . b là SCP => b = 2 .7.11 .13 k^2 (k là nguyên duong)
Nếu k < 10 thì do b là bội của 4 số nguyen to lien tiep => b là bội 2.3.5.7 hay b là bội 5.7.11.13
Nếu b là bội 2.3.5.7 thì k chia hết cho 15 =>k=15 (loai vì k < 10)
Nếu b là bội 5.7.11.13 thì k = 5(do k < 10) => b-1 = 2002 . 5^2 -1 = 50049 chia het cho 9 (trái gt)
Nếu k = 10 thì b là bội 5.7.11.13 và b - 1 = 200199 ko chia het cho 9
Vậy b = 200200

 

[etete]

4a n+18 và n-41 là số cp=>n>41
đặt n+18=k²=>n=k²-18----(1)
n-41=t²=>n=t²+41-----(2)
từ (1)và(2) => k²-18=t²+41
⇔k²-t²=41+18=59
⇔(k-t)(k+t)=59=1.59=(-1).(-59)
TH1 :.....k-t=1
.............k+t=59
=>k=30 , t=29
Thử lại n+18=30²=>n=882
............n-41=882-41=841=29² (t/m~)
............n-41=29²=>n=872
...........n+18=872+18=900=30² (t/m~)
TH2 :k-t=-1
........k+t=-59
=>k=-30
....t=-29
Thử lại n+18=(-30)²=>n=882
...........n-41=(-29)²=>n=872
Vậy số tự nhiên n là 872 hoặc 882

 

[congchuaanhsang]

3, $n^5-n+2=n(n^4-1)+2=n(n-1)(n+1)(n^2+1)+2$ chia 3 dư 2

Vậy không tồn tại n để $n^5-n+2$ là số chính phương

 

[congchuaanhsang]

4, a, Đặt $n-41=a^2$ ; $n+18=b^2$ (a,b $\in$ N)

\Rightarrow$b^2-a^2=59$\Leftrightarrow$(b-a)(b+a)=59$

Phương trình ước số

b, Cm với mọi a,b thỏa mãn $a+b=1$ thì $f(a)+f(b)=1$

c, Theo Cauchy $(a+1)(b+1)(c+1)$\geq$8abc=8$

 

[congchuaanhsang]

5, Theo Cauchy -Schwarz: $a^4+b^4$\geq$\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}$\geq$\dfrac{(a+b)^4}{8}$\geq$\dfrac{1}{8}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[congchuaanhsang]

6, Theo Cauchy $\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}$\geq$2b$

$\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}$\geq$2a$ ; $\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}$\geq$2c$

Nên $2VT$\geq$2VP$\LeftrightarrowVT\geqVP

 

[congchuaanhsang]

7, *Max

$x^2+y^2=1$\Rightarrow$x^2$\leq1 ; $y^2$\leq1

\Leftrightarrow$x^6$\leq$x^2$ ; $y^6$\leq$y^2$

\Rightarrow$x^6+y^6$\leq$x^2+y^2=1$

*Min

Cauchy-Schwarz: $x^2+y^2$\geq$\dfrac{(x+y)^2}{2}$\Leftrightarrow$x+y$\leq$\sqrt{2}$

$(x^2+y^2)^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3})^2$\leq$(x+y)(x^3+y^3)$

\leq$\sqrt{2}(x^3+y^3)$

\Leftrightarrow$x^3+y^3$\geq$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$x^6+y^6$\geq$\dfrac{(x^3+y^3)^2}{2}$\geq$\dfrac{1}{4}$

 

[tokisaki_kurumi]

Bài 1:
a) Ta có $A=6k$
$1000A$ là số chính phương
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $6000k=2^4.3.5^3.k$ là số chính phương
$\sqrt{6000}=20\sqrt{15}$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $k=15$
Vây $A=90$

 

[me0kh0ang2000]

$a^2-4a+1=0 \Leftrightarrow a^2-a+1=3a\\
a^2-4a+1=0 \Leftrightarrow a^2+a+1=5a\\
\Rightarrow\dfrac{a^4+a^2+1}{a^2}=\dfrac{(a^2+a+1)(a^2-a+1)}{a^2}=\dfrac{5a.3a}{a^2}=15$

 

[lasd45]

4a n+18 và n-41 là số cp=>n>41
đặt n+18=k²=>n=k²-18----(1)
n-41=t²=>n=t²+41-----(2)
từ (1)và(2) => k²-18=t²+41
⇔k²-t²=41+18=59
⇔(k-t)(k+t)=59=1.59=(-1).(-59)
TH1 :.....k-t=1
.............k+t=59
=>k=30 , t=29
Thử lại n+18=30²=>n=882
............n-41=882-41=841=29² (t/m~)
............n-41=29²=>n=872
...........n+18=872+18=900=30² (t/m~)
TH2 :k-t=-1
........k+t=-59
=>k=-30
....t=-29
Thử lại n+18=(-30)²=>n=882
...........n-41=(-29)²=>n=872
Vậy số tự nhiên n là 872 hoặc 882

 

[casidainganha]

4a n+18 và n-41 là số cp=>n>41
đặt n+18=k²=>n=k²-18----(1)
n-41=t²=>n=t²+41-----(2)
từ (1)và(2) => k²-18=t²+41
⇔k²-t²=41+18=59
⇔(k-t)(k+t)=59=1.59=(-1).(-59)
TH1 :.....k-t=1
.............k+t=59
=>k=30 , t=29
Thử lại n+18=30²=>n=882
............n-41=882-41=841=29² (t/m~)
............n-41=29²=>n=872
...........n+18=872+18=900=30² (t/m~)
TH2 :k-t=-1
........k+t=-59
=>k=-30
....t=-29
Thử lại n+18=(-30)²=>n=882
...........n-41=(-29)²=>n=872
Vậy số tự nhiên n là 872 hoặc 882

số chính phương là bình phương số tự nhiên nên $k^2$ không thể bằng $-30^2$ được, tương tự với t nữa nên ta chỉ nhận một giá trị thôi chứ:|:|:|:|