Toán [ Toán 8]Dạng đối xứng vòng quanh

[Hoàng Thiên Như]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c t/m : (a+b)(b+c)(c+a) khác 0 và
$$\frac{a^2}{a+b} +\frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{c+a} = \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a} +\frac{c^2}{a+b}$$
C/m : a=b=c

 

[candyiukeo2606]

$$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$ = $$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$
<=> $$\frac{a^2(b + c)(c + a) + b^2(a + b)(a + c) + c^2(a + b)(b + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ = $$\frac{a^2(a + b)(a + c) + b^2(b +c)(a + b) + c^2(b + c)(a + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$
<=> $$\frac{a^2(c + a)(c - a) + b^2(a + b)(a - b) + c^2(b + c)(b - c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ = 0
Mà (a + b)(b + c)(c + a) khác 0
=> [TEX]a^2(c + a)(c - a) + b^2(a + b)(a - b) + c^2(b + c)(b - c)[/TEX] = 0
<=> [TEX]a^2(c^2 - a^2) + b^2(a^2 - b^2) + c^2(b^2 - c^2)[/TEX] = 0
<=> $$a^2c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$$ = 0
<=> [TEX]a^2c^2 a^2b^2 + b^2c^2[/TEX] = [TEX]a^4 + b^4 + c^4[/TEX]
Sau đó chứng minh BĐT sau:
$$a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$$
Ta có:
$$a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2$$
Dấu "=" xảy ra khi a = b
$$b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2$$
Dấu "=" xảy ra khi b = c
$$a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2$$
Dấu "=" xảy ra khi a = c
=> [TEX]2(a^4 + b^4 + c^4) \geq 2(a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2)[/TEX]
<=> [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Vậy để $$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$ = $$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$ thì a = b = c

 

[Hoàng Thiên Như]

$$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$ = $$\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}$$
<=> $$\frac{a^2(b + c)(c + a) + b^2(a + b)(a + c) + c^2(a + b)(b + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ = $$\frac{a^2(a + b)(a + c) + b^2(b +c)(a + b) + c^2(b + c)(a + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$
<=> $$\frac{a^2(c + a)(c - a) + b^2(a + b)(a - b) + c^2(b + c)(b - c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ = 0

Vì sao lại bằng 0 ạ?

 

[candyiukeo2606]

Vì sao lại bằng 0 ạ?

Chuyển vế, [TEX]a^2(b + c)(c + a)[/TEX] và [TEX]a^2(a + b)(a + c)[/TEX] có nhân tử chung là [TEX]a^2(a + c)[/TEX] thì nhóm lại, mấy cái kia cũng tương tự, cho nên phân thức kia bằng 0