[tex]\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}[/tex] = [tex]\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}[/tex]
<=> [tex]\frac{a^2(b + c)(c + a) + b^2(a + b)(a + c) + c^2(a + b)(b + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}[/tex] = [tex]\frac{a^2(a + b)(a + c) + b^2(b +c)(a + b) + c^2(b + c)(a + c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}[/tex]
<=> [tex]\frac{a^2(c + a)(c - a) + b^2(a + b)(a - b) + c^2(b + c)(b - c)}{(a + b)(b + c)(c + a)}[/tex] = 0
Mà (a + b)(b + c)(c + a) khác 0
=> [TEX]a^2(c + a)(c - a) + b^2(a + b)(a - b) + c^2(b + c)(b - c)[/TEX] = 0
<=> [TEX]a^2(c^2 - a^2) + b^2(a^2 - b^2) + c^2(b^2 - c^2)[/TEX] = 0
<=> [tex]a^2c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4[/tex] = 0
<=> [TEX]a^2c^2 a^2b^2 + b^2c^2[/TEX] = [TEX]a^4 + b^4 + c^4[/TEX]
Sau đó chứng minh BĐT sau:
[tex]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2[/tex]
Ta có:
[tex]a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = b
[tex]b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi b = c
[tex]a^4 + c^4 \geq 2a^2c^2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a = c
=> [TEX]2(a^4 + b^4 + c^4) \geq 2(a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2)[/TEX]
<=> [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \geq a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2[/TEX]
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Vậy để [tex]\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}[/tex] = [tex]\frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{a + b}[/tex] thì a = b = c
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
