[Toán 8] CMR: $\dfrac{2011x}{xy+ 2011x+2011 } + \dfrac{y}{yz+y+2011} + \dfrac{z}{ xz + z+1 } = 1$

1) Cho xyz = 2011 . Chứng minh rằng :
$\dfrac{2011x}{xy+ 2011x+2011 } + \dfrac{y}{yz+y+2011} + \dfrac{z}{ xz + z+1 } = 1$

2) cho a,b,c là các số nguyên . Chứng minh rằng : $a^3 +b^3+c^3 $chia hết cko 3 <=> $a+b+c$ chia hết cho 3

 

1.

Bài này rất dễ, bạn cứ thấy nơi nào có $2011$ là bạn thay bằng $xyz$ thui.

$\dfrac{2011x}{xy+2011x+2011}+\dfrac{y}{yz+y+2011}+\dfrac{z}{xz+z+1}$

$=\dfrac{x^2yz}{xy+x^2yz+xyz}+\dfrac{y}{yz+y+xyz}+\dfrac{z}{xz+z+1}$

$=\dfrac{x^2yz}{xy(xz+z+1)}+\dfrac{y}{y(xz+z+1)}+ \dfrac{z}{xz+z+1}$

$=\dfrac{xz}{xz+z+1}+\dfrac{1}{xz+z+1}+\dfrac{z}{xz+z+1}$

$=\dfrac{xz+z+1}{xz+z+1}=1$ $\to dpcm$

 

2. Ta có: $a^3+b^3+c^3 - a-b-c = a(a^2-1)+ b(b^2-1) + c(c^2-1)= a(a-1)(a+1)+ b(b-1)(b+1)+ c(c-1)(c+1)$

Do a,c,b nguyên nên:
a(a-1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp $\to a(a-1)(a+1) \vdots 3$ (1)
b(b-1)(b+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp $\to b(b-1)(b+1) \vdots 3$ (2)
c(c-1)(c+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp $\to c(c-1)(c+1) \vdots 3$ (3)
Từ (1);(2);(3) $\to a(a-1)(a+1)+ b(b-1)(b+1)+ c(c-1)(c+1) \vdots 3$
$\to a^3+b^3+c^3 - (a+b+c) \vdots 3$

+ Nếu $a^3+b^3+c^3 \vdots 3 \to a+b+c \vdots 3$

+ Nếu $a+b+c \vdots 3 \to a^3+b^3+c^3 \vdots 3$

Vậy $a^3+b^3+c^3 \vdots 3 \leftrightarrow a+b+c \vdots 3$