Toán [Toán 8] Chuyên đề bất đẳng thức.

[Nguyễn Kiều Trinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng: với mọi số thực a, b, c ta có:
1) [tex]a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-d+\frac{2}{5} \geq 0[/tex]

2) [tex]\frac{a^2}{4} + b^2+c^2 \geq ab-ac+2bc[/tex]

3) [tex]a^4 +b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2[/tex]

4) [tex](a+b)(a^3+b^3)=2(a^4+b^4)[/tex]

5) [tex](a^2+b^2)(a^4+b^4)\geq (a^3+b^3)^2[/tex]

6) [tex]3(a^2+b^2+1)\geq (a+b+1)^2[/tex]

7) [tex](a^2+b^2)(a^2+1)\geq 4a^2b[/tex]

8) [tex](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)[/tex]

9) [tex]a^2 +\frac{b^2}{4}\geq ab[/tex]

Bài 2: Tìm GTNN của:
[tex]A = 20x^2-20x+1[/tex]

[tex]B = 5x^2+3y^2-12xy+24x-4xy+32[/tex]

[tex]C=x^4-4x^3+9x^2-20x+22[/tex]

[tex]D=x^4 -x^2+2x+7[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1: Chứng minh rằng: với mọi số thực a, b, c ta có:
1) [tex]a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-d+\frac{2}{5} \geq 0[/tex]

Hình như phải là $a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-da+\dfrac{2}{5} \geq 0$ chứ nhỉ? ^^

 

[tranvandong08]

Bài 2:
\[\\A=20x^{2}-20x+1=20(x^{2}-x+\frac{1}{20})=20(x^{2}-2.x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{5}) \\=20(x-\frac{1}{2})^{2}-4\geq -4\]
Dấu ''='' xảy ra khi
\[x=\frac{1}{2}\]




\[\\C=x^4-4x^3+9x^2-20x+22=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}+5x^{2}-20x+20+2\\=x^{2}(x-2)^{2}+5(x-2)^{2}+2\geq 2\]
Dấu ''='' xảy ra khi
\[x=2\]



\[D=x^4-x^2+2x+7=x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}+2x+1+5=(x^{2}-1)^{2}+(x+1)^{2}+5\geq 5\]
Dấu ''='' xảy ra khi
\[x=-1\]

 

[Nguyễn Kiều Trinh]

Mọi người vào giúp tớ với!!!

 

[tranvandong08]

\[3,a^4+b^{4}+c^{4}\geq a^{2}b^2+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\[\\a^4+b^4\geq 2a^{2}b^{2} \\b^{4}+c^{4}\geq 2b^{2}c^{2} \\c^{4}+a^{4}\geq 2c^2a^2 \\\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^4\geq a^{2}b^2+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\]
\[\\5,(a^2+b^{2})(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})^{2} \\\Leftrightarrow a^{6}+b^{6}+a^{2}b^{4}+a^{4}b^{2}\geq a^{6}+b^{6}+2a^{3}b^{3} \\\Leftrightarrow (ab^{2}-a^{2}b)\geq 0\](luôn đúng)

\[\\6,3(a^{2}+b^2+1)\geq (a+b+1)^2 \\\Leftrightarrow 3a^{2}+3b^2+3\geq a^{2}+b^{2}+1+2a+2b+2ab \\\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2\geq 0 \\\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\] (luôn đúng)
\[\\7,(a^{2}+b^2)(a^2+1)\geq 4a^{2}b\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\[\\a^{2}+b^{2}\geq 2ab \\a^{2}+1\geq 2a \\\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(a^{2}+1)\geq 4a^{2}b\]
\[\\8,(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)\]
Áp dụng bất đẳng thức \[(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\] có:
\[(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab^{2}c+abc^{2}+a^{2}bc)=3abc(a+b+c)\] (ngoài cách này thì còn cách biến đổi tương đương nữa bạn nhé^^)
\[\\9,a^{2}+\frac{b^{2}}{4}\geq ab \\\Leftrightarrow 4a^{2}+b^{2}-4ab\geq 0 \\\Leftrightarrow (2a-b)^{2}\geq 0\](luôn đúng)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài 1: Chứng minh rằng: với mọi số thực a, b, c ta có:
1)

2)

4)

9)

$1.$ dấu = ko xảy ra bạn ạ ^^
$a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-da+\dfrac{2}{5} > 0
\\\Leftrightarrow \dfrac12(2a^2+2b^2-2ab-2bc-2cd-2da)+\dfrac{2}{5}> 0
\\\Leftrightarrow \dfrac12[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2cd+d^2)+(d^2-2da+a^2)]+\dfrac25> 0$
$\Leftrightarrow \dfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(d-a)^2]+\dfrac25> 0$ (luôn đúng)
$2.\\\dfrac{a^2}{4} + b^2+c^2 \geq ab-ac+2bc
\\\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{4} -ab+ac+ b^2-2bc+c^2\geq 0
\\\Leftrightarrow \dfrac{a^2}4-2.\dfrac{a}2(b-c)+(b-c)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (\dfrac{a}2-b+c)^2\geq 0$ (luôn đúng)
$4.$ phải là $(a+b)(a^3+b^3)\geq 2(a^4+b^4)$ chứ nhỉ? ^^
$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4)-a^4-b^4-a^3b-ab^3\geq 0
\\\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\geq 0
\\\Leftrightarrow a^3(a-b)-b^3(a-b)\geq 0
\\\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0$ (luôn đúng)
$9. \ a^2 +\dfrac{b^2}{4}\geq ab\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}4\geq 0\Leftrightarrow (a-\dfrac{b}2)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Câu này hình như có vấn đề bạn ạ ^^ sao ko viết luôn $-16xy$ thay vì viết thành $-12xy$ vs $-4xy$ ^^