[Toán 8]Chứng minh

[thanhtra2192000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n}$ không phải là một số tự nhiên

Chú ý tiêu đề + gõ latex
Không đặt các tiêu đề như: "Help me", "giúp em với", "cứu với", "hehe" v.v...

 

[braga]

Gọi $p$ là số nguyên tố $<n$ giả sử $2^x\le n<2^{x+1}$
Khi ấy $a=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$
Đặt $B=lcm[2,3,4,...,n]$ (BCNN)
Khi ấy $a=\dfrac{k_2+...+k_n}{B}$ với $k_2,...,k_n$ là tử số của các phân số tương ứng
Dễ thấy $B \vdots 2^x$ vì $2^x\le n<2^{x+1}$ nên mọi số $r$ bất kì mà $<n$ thì $2^u||r$ thì $u<x$ với $||$ là kí hiệu $2^u$ là ước của $r$ với $u$ lớn nhất, vì giả sử ngược lại suy ra $u\geq x \Rightarrow r\geq 2^x \Rightarrow r=n$ loại do $r<n$
Do đó $B \vdots 2^x$ như vậy $k_r$ sẽ chia hết cho $2$ (do $k_r$ khi phân tích ra thừa số $2$ thì mũ cao nhất là $u<x$)
Chỉ có mỗi $k_{2^x}$ là lẻ do $B \vdots 2^x$ mà không $\vdots 2^{x+1}$ vì $B=lcm[1,2,...,n]$
Do đó tử số là số lẻ còn mẫu là $B$ là số chẵn nên $a$ không thể nguyên, đây là $đpcm$