[Toán 8] Chứng minh

[kingofthemath]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng: Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì:
[tex]A=(n-1)n(n+1)[/tex] chia hết cho 504
2) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
3) Cho [tex]x+y+z=t^{2}[/tex]
Chứng minh rằng:
[tex]S=(2x+2y-z)^{2}+(2y+2z-x)^{2}+(2z+2x-y)^{2}[/tex] là số chính phương.

 

[harrypham]

1) Chứng minh rằng: Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì:
[tex]A=(n-1)n(n+1)[/tex] chia hết cho 504

1. Phân tích [TEX]504=9.8.7[/TEX]
Áp dụng tính chất [TEX]a^3 \equiv 0,1,8 \pmod{9}[/TEX], ta luôn có nếu n là lập phương của một số tự nhiên, ta luôn có ít nhất một trong ba số [TEX]n-1,n,n+1[/TEX] chia hết cho 9, nên [TEX]A[/TEX] chia hết cho 9.

Tương tự, áp dụng [TEX]a^3 \equiv 0,1,6 \pmod{7}[/TEX] thì [TEX]A \vdots 7[/TEX].

Viết lại [TEX]A=(n^2-1)n[/TEX].

+ Nếu [TEX]n[/TEX] chẵn, mà n là lập phương một số tự nhiên, 2 nguyên tố nên [TEX]n[/TEX] chia hết cho 8, khi đó [TEX]A \vdots 8[/TEX].

+ Nếu [TEX]n[/TEX] lẻ, áp dụng [TEX]a^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8}[/TEX] thì suy ra chỉ có thê [TEX]n^2 \equiv 1 \pmod{8} \Rightarrow n^2-1 \equiv 0 \pmod{8}[/TEX], tức [TEX]A \vdots 8[/TEX].

Do [TEX](7,8,9)=1[/TEX] nên [TEX]A \vdots 7.8.9=504[/TEX].