Toán 8: Chứng minh bất đẳng thức

[shirano]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Cho a, b dương . Chứng minh rằng :
a, 2(a^3 + b^3) \geq(a+b) (a^2+b^2)
b, 4(a^3 +b^3) \geq(a+b)^3
c, a^3 +b^3 +2ab\geq ab(a+b+2)
d, a^3 +b^3 +abc\geq ab(a=b=c)
Bài 2: Dùng bất dẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức sau
8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4
Bài 3:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
a, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}
b, \frac{1}{a+b -c} + \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{c+a-b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1} {c}

 

[thaolovely1412]

Bài 1
a) [TEX]2(a^3 + b^3)\geq (a+b) (a^2+b^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a+b)(a^2-ab+b^2) \geq (a+b)(a^2+b^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^2+ab+b^2) \geq a^2+b^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0[/TEX] luôn đúng
b) Ta có:
[TEX]4(a^3+b^3)-(a+b)^3[/TEX]
[TEX]=(a+b)[4(a^2-ab+b^2)-(a+b)^2][/TEX]
[TEX]=3(a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]

 

[transformers123]

Bài 1 : Cho a, b dương . Chứng minh rằng :
a, 2(a^3 + b^3) \geq(a+b) (a^2+b^2)

theo đề bài, ta cần chứng minh:
$$2(a^3+b^3) \ge a^3+b^3+a^2b+ab^2$$
hay:
$$a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$$
áp dụng bđt Cauchy, ta có:
$(a^3+a^3+b^3)+(b^3+b^3+a^3) \ge 3a^b+3ab^2$
$\Longrightarrow 3a^3+3b^3 \ge 3a^2b+3ab^2$
$\Longrightarrow a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$
bất đẳng thức trên được chứng minh xong=))

 

[thaolovely1412]

Bài 1
d)[TEX]a^3 +b^3 +abc - ab(a+b+c)[/TEX]
[TEX]=a^3+b^3+abc-a^2b-ab^2-abc[/TEX]
[TEX]=(a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]
c)[TEX]a^3 +b^3 +2ab -ab(a+b+2)[/TEX]
[TEX]=a^3+b^3+2ab-a^2b-ab^2-2ab[/TEX]
[TEX]=(a+b)(a^2+b^2-ab)-ab(a+b)[/TEX]
[TEX]=(a+b)(a-b)^2 \geq 0[/TEX]

 

[transformers123]

Bài 2: Dùng bất dẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức sau
8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4

ta có:
$(a+b)^4 \le [ 2(a^2+b^2) ]^2$
$\Longrightarrow (a+b)^4 \le 4(a^2+b^2)^2$
$\Longrightarrow (a+b)^4 \le 4.2(a^4+b^4)=8(a^4+b^4)$

 

[transformers123]

Bài 3:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
a, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}

áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{(1+1)^2}{a+b} =\dfrac{4}{a+b}$

 

[thaolovely1412]

[TEX]\frac{1}{a+b -c} + \frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{c+a-b} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Áp dụng bđt câu a ta có:
[TEX]\frac{1}{a+b -c} + \frac{1}{b+c-a} \geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{b+c-a} +\frac{1}{c+a-b} \geq \frac{2}{c}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a+b -c}+\frac{1}{c+a-b} \geq \frac{2}{a}[/TEX]
Cộng từng vế bđt trên rồi chia 2 được đpcm

 

[congchuaanhsang]

b, 4(a^3 +b^3) \geq(a+b)^3

$a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$

\Leftrightarrow $3(a^3+b^3)$ \geq $3ab(a+b)$

\Leftrightarrow $4(a^3+b^3)$ \geq $a^3+3ab(a+b)+b^3$

\Leftrightarrow $4(a^3+b^3)$ \geq $(a+b)^3$

 

[congchuaanhsang]

Bài 2: Dùng bất dẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức sau
8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4

$(a+b)^2$ \leq $2(a^2+b^2)$

\Leftrightarrow $(a+b)^4$ \leq $4(a^2+b^2)^2$ \leq $8(a^4+b^4)$

 

[congchuaanhsang]

Bài 3:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
a, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}

Có $a^2+b^2$ \geq $2ab$

\Leftrightarrow $(a+b)^2$ \geq $4ab$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{4}{a+b}$

 

[congchuaanhsang]

Một cách khác cho 3a

Cauchy $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

\Leftrightarrow $\dfrac{4}{a+b}$ \leq $\dfrac{2}{\sqrt{ab}}$

Cũng theo Cauchy:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ \geq $\dfrac{2}{\sqrt{ab}}$

Từ đó ta có đpcm