[toán 8] chứng minh $a^{2013} + b ^{2013} = x^{2013}+ y^{2013}$

[dotuongbo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x+y = a+b và $x^{2} + y^{2} = a^{2} +b^{2}$. chứng minh
$a^{2013} + b ^{2013} = x^{2013}+ y^{2013}$

 

[hmu95]

Không biết Em hiểu được không nữa

cho x+y = a+b và $x^{2} + y^{2} = a^{2} +b^{2}$. chứng minh
$a^{2013} + b ^{2013} = x^{2013}+ y^{2013}$

Giải:
Từ giả thiết dễ suy ra:
$ \begin{cases}
& xy=ab \\
& x+y=a+b
\end{cases}$

Để chứng minh đúng với tận 2013 thì ta chứng minh với một số n bất kì.

Dễ thấy [TEX]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3[/TEX]
Vậy biểu thức đúng với n =1,2,3
Ta sẽ chứng minh bằng phép Quy nạp.

Giả sử đẳng thức trên đúng tới k nguyên dương ta cần chứng minh nó cũng đúng với n=k+1

[TEX]x^{k+1}+y^{k+1}=(x+y)(x^k+y^k)-xy(x^{k-1}+ y^{k-1})[/TEX]

Do đúng tới k nên cũng sẽ đúng với n=k-1 do đó

[TEX]x^{k+1}+y^{k+1}=(a+b)(a^k+b^k)-ab(a^{k-1}+b^{k-1})=a^{k+1}+b^{k+1}[/TEX]

Do đó đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi n nguyên dương.

do đó đúng với n = 2013 là điều hiển nhiên

 

[congchuaanhsang]

Anh làm gì dài thế

Bài này có thể cm đơn giản như sau

$x+y=a+b$\Leftrightarrow$x-a=b-y$

$x^2+y^2=a^2+b^2$\Leftrightarrow$x^2-a^2=b^2-y^2$

\Leftrightarrow$(x-a)(x+a)-(b-y)(b+y)=0$\Leftrightarrow$(b-y)(x+a)-(b-y)(b+y)=0$

\Leftrightarrow$(b-y)[(x+a)-(b+y)]=0$

*Xét b-y=0\Leftrightarrowb=y\Rightarrowx=a\Rightarrowđpcm

*Xét $(x+a)-(b+y)=0$\Leftrightarrow$x+a=b+y$

Kết hợp với $x+y=a+b$\Rightarrowa-y=y-a\Rightarrowa=y\Rightarrowb=x\Rightarrowđpcm

 

[thanhtra2192000]

x+Y=a+b nên:
x=a+b-y
x^2[TEX][/TEX]=a^2+b^2+y^2+2ab-2by-2ay
x^2+y^2=a^2+b^2
x^2=a^2+b^2-y^2
\Rightarrowa^2+b^2+y^2+2ab-2by-2ay= a^2+b^2-y^2

\Rightarrowa^2+b^2+y^2+2ab-2by-2ay-a^2-b^2+y^2=0
\Rightarrow2y^2+2ab-2by-2ay=0
\Rightarrow2(y-b)(y-a)=0
\Rightarrowy=b hoac y=a
+)y=b\Rightarrowx=a
\Rightarrowx^2013+y^2013=a^2013+b^2013
cmtt\Rightarrowdpcm