[Toán 8]BĐT tam giác

[deadguy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Toán 8]Toán khó về đa thức nhân đa thức

Không được dùng hằng đẳng thức nhé ! Tại thầy chưa cho sài.
Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác . Chứng minh:
$a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3>0$

 

[su10112000a]

ta có:
$a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$ (bđt Cauchy)
$\Longrightarrow -a^3-b^3-c^3 \le -3abc$
ta cần chứng minh:
$a^2b + b^2c + c^2a + ca^2 + bc^2 + ab^2 - 3abc > 0$
ta có:
$a^2b + b^2c + c^2a + ca^2 + bc^2 + ab^2 - 3abc$
$=ab(a+b) + bc(b+c) + ca(a+c) - 3abc > abc + abc + abc - 3abc = 0$
Xong:|

 

[deadguy]

ta có:
$a^3+b^3+c^3 \ge 3abc$ (bđt Cauchy)
$\Longrightarrow -a^3-b^3-c^3 \le -3abc$
ta cần chứng minh:
$a^2b + b^2c + c^2a + ca^2 + bc^2 + ab^2 - 3abc > 0$
ta có:
$a^2b + b^2c + c^2a + ca^2 + bc^2 + ab^2 - 3abc$
$=ab(a+b) + bc(b+c) + ca(a+c) - 3abc > abc + abc + abc - 3abc = 0$
Xong:|

Có cách nào cm mà ko cần dùng BĐT cauchy ko !_________________

 

[su10112000a]

đáp ứng nguyện vọng của nhox, giải cách khác:
ta có:
$-a^3+a^2b-b^3+b^2c-c^3+c^2a = -a^2(a-b) - b^2(b-c) - c^2(c-a) > -a^2c - b^2a - c^2b$
suy ra:
$a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b -a^3-b^3-c^3 > a^2c+b^2a+c^2b-a^2c - b^2a - c^2b =0$
OK

 

[hai1206]

Cách khác:
Giả sử: a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3>0
\Leftrightarrow a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3>0
\Leftrightarrow a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c)>0
Vì a;b;c là 3 cạnh tam giác nên a;b;c>0
\Rightarrow b+c-a>0
a+c-b>0
a+b-c>0
\Rightarrow a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c)>0
hay a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3>0
cho xin cai cảm ơn

 

[deadguy]

Mấy bài này áp dụng bất đẵng thức tam giác vô làm được không mấy thánh !

 

[hai1206]

Mấy bài này áp dụng bất đẵng thức tam giác vô làm được không mấy thánh !

chắc được. đó tích đúng cho minh điiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii