Toán 8.Bất đẳng thức.

[shyhaeky_1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho a>c, b>c, c>0. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=\sqrt{ab} [/TEX]
2.Cho a, b thỏa mãn điều kiện [TEX](a-2)^2+(b-1)^2=5[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]2a+b \leq 10[/TEX]
3. Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thỏa mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
Chứng minh

[TEX]1 \leq x+y \leq \sqrt{2}[/TEX]
4. Chứng minh rằng [TEX] \frac{1}{5}+ \frac{1}{13}+.....+ \frac{1}{(2002^2+2003^2)} \leq \frac{1}{2}[/TEX]
5. Cho a>1, b>1. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a^2}{b-1}+ \frac{b^2}{a-1} \geq [/TEX]8

 

[minhvuong9cdt]

1.Cho a>c, b>c, c>0. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=\sqrt{ab} [/TEX]

Bài này cũng là bất đẳng thức luôn hả !


Phải là : [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX] chứ !


[TEX] \sqrt {c(a-c)} + \sqrt {c(b-c)} \geq \sqrt {ab}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ac-c^2+bc-c^2-ab + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c^2 -2c\sqrt {(a-c)(b-c)} + (a-c)(b-c)\geq 0 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (c+\sqrt {(a-c)(b-c}})^2 \geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối đúng \Rightarrow [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX]

 

[tieulongcongchua]

1.Cho a>c, b>c, c>0. Chứng minh rằng:
[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=\sqrt{ab} [/TEX]

cách 2 nè:

áp dụng BDT Bunhiacopski

=> /ax+by/ [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}{[/TEX]

vào BDT trên ta được:

/ [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{(b-c)c}[/TEX] / [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX](đpcm)

 

[minhvuong9cdt]

4. Chứng minh rằng [TEX] A=\frac{1}{5}+ \frac{1}{13}+.....+ \frac{1}{(2002^2+2003^2)} \leq \frac{1}{2}[/TEX]

Ta có :

[TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX] ( Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương )

[TEX] \Rightarrow \frac 1 {a^2+b^2} \leq \frac 1 {2ab} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A= \frac 15 +\frac {1} {13} +...+ \frac 1 {2002^2+2003^2} [/TEX]

[TEX] = \frac 1 { 1^2+2^2} + \frac 1 {2^2+3^2} +... + \frac 1 {2002^2+2003^2 } [/TEX]

[TEX] \leq \frac 12 . ( \frac 1 {1.2}+\frac 1 {2.3}+...+\frac 1 {2002.2003} )[/TEX]

[TEX] = \frac 12 .( \frac 11 -\frac 12 +\frac 12 - \frac 13 +...+\frac 1 {2002}-\frac 1 {2003})[/TEX]

[TEX] = \frac 12 . (1-\frac 1 {2003})[/TEX]

[TEX] = \frac 12 . \frac {2002}{2003} \leq \frac 12[/TEX]

[TEX] \Rightarrow A\leq \frac12[/TEX]

_________

NHỚ THANKS NẾU ĐÚNG !

 

[nguyenhuuquoc]

5. Cho a>1, b>1. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a^2}{b-1}+ \frac{b^2}{a-1} \geq [/TEX]8

[TEX]\frac{a^2}{b-1}+ \frac{b^2}{a-1}\geq \frac{2ab}{\sqrt{(a-1)(b-1)}}[/TEX]
[TEX]=\frac{2(a-1+1)(b-1+1)}{\sqrt{(a-1)(b-1)}}\geq \frac{2.2\sqrt{a-1}.2\sqrt{b-1}}{\sqrt{(1-a)(b-1)}}=8.[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=2.[/TEX]

 

[shyhaeky_1111]

Bài này cũng là bất đẳng thức luôn hả !


Phải là : [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX] chứ !


[TEX] \sqrt {c(a-c)} + \sqrt {c(b-c)} \geq \sqrt {ab}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ac-c^2+bc-c^2-ab + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c^2 -2c\sqrt {(a-c)(b-c)} + (a-c)(b-c)\geq 0 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (c+\sqrt {(a-c)(b-c}})^2 \geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối đúng \Rightarrow [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX]

Đúng là mình ra đề sai, xin lỗi mọi người nha!
Đề đúng phải là:[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq\sqrt{ab} [/TEX]
Nhưng bài này bạn làm sai rùi bạn ui:
Sai từ chỗ dòng thứ hai đấy : đáng lẽ nhân với trừ một bạn phải đổi chiều BĐT chứ!!

 

[shyhaeky_1111]

cách 2 nè:

áp dụng BDT Bunhiacopski

=> /ax+by/ [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}{[/TEX]

vào BDT trên ta được:

/ [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{(b-c)c}[/TEX] / [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX](đpcm)

Bài này bạn cũng làm sai rùi:
BĐT Bunhiacopski phải là
|ax+by| [TEX]\leq[/TEX] [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}[/TEX] chứ

 

[shyhaeky_1111]

Còn bài 2 các bạn có thể sử dụng BĐT bunhiacopski để CM

 

[nhocxiunhan]

Bài này cũng là bất đẳng thức luôn hả !


Phải là : [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX] chứ !


[TEX] \sqrt {c(a-c)} + \sqrt {c(b-c)} \geq \sqrt {ab}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ac-c^2+bc-c^2-ab + 2c\sqrt{(a-c)(b-c)} \geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow c^2 -2c\sqrt {(a-c)(b-c)} + (a-c)(b-c)\geq 0 [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow (c+\sqrt {(a-c)(b-c}})^2 \geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối đúng \Rightarrow [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX]

cách 2 nè:

áp dụng BDT Bunhiacopski

=> /ax+by/ [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}{[/TEX]

vào BDT trên ta được:

/ [TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{(b-c)c}[/TEX] / [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\sqrt{(c+b-c)(a-c+c)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\geq\sqrt{ab} [/TEX](đpcm)

sai cơ bản !

 

[tuananh8]

Đúng là mình ra đề sai, xin lỗi mọi người nha!
Đề đúng phải là:[TEX]\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq\sqrt{ab} [/TEX]
Nhưng bài này bạn làm sai rùi bạn ui:
Sai từ chỗ dòng thứ hai đấy : đáng lẽ nhân với trừ một bạn phải đổi chiều BĐT chứ!!

thế thui, dùng cô-si cho dễ:
Chia cả 2 vế cho [TEX]\sqrt[]{ab}[/TEX], ta cần chứng minh:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}}+ \sqrt[]{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}} \leq 1[/TEX]
Áp dụng BĐT cô-si: [TEX]\sqrt[]{xy} \leq \frac{x+y}{2}[/TEX], ta có:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{b}.\frac{a-c}{a}} \leq \frac{1}{2}.(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a})=\frac{1}{2}(\frac{c}{b}-\frac{c}{a}+1)[/TEX].Tương tự:
[TEX]\sqrt[]{\frac{c}{a}.\frac{b-c}{b}} \leq \frac{1}{2}(\frac{c}{a}-\frac{c}{b}+1)[/TEX]
Cộng cả 2 vế của 2 BĐT trên ta có đpcm. ))

 

[tuananh8]

3. Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thỏa mãn [TEX]x^2+y^2=1[/TEX]
Chứng minh

[TEX]1 \leq x+y \leq \sqrt{2}[/TEX]

đề sai rùi bn, xem lại đi. @-) @-) @-) @-) @-)

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

giai? ho^ bai` nay` nha pa` con
cho cac' so^' x va` y thoa? man~ : x^2+xy+y^2 = x +y
tim gia tri lon' nhat' cua x^2 +y^2
tho^ng cam? nha minh` o? day minh` ko bjt danh' ki hieu toan' hoc
co' cai bang? huong' dan nhung ko vao dc (@_@)

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

ne`bai` nua nha
cho a, b.c\geq0va a+b+c = 1CMR
P=bc(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{8}{729}
lam`luôn nha khân? cấp lám:-SS

 

[tuananh8]

ne`bai` nua nha
cho a, b.c\geq0va a+b+c = 1CMR
P=bc(a+b)(b+c)(c+a)\leq\frac{8}{729}
lam`luôn nha khân? cấp lám:-SS

hình như đề sai:
Phải là [TEX]P=abc(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX] chứ???

 

[tuananh8]

Dùng cô-si:
[TEX]abc \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27}[/TEX].Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
[TEX](a+b)(b+c)(c+a) \leq \frac{8(a+b+c)^3}{27}[/TEX].Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
[TEX]\Rightarrow P \leq \frac{1}{27}.\frac{8}{27}=\frac{8}{729}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

kho^ng ai giup' to^i ah`
chay da^u he^t rui`
pa` con chua le^n ah`
co' ai giup thi` mau le^n
mai no^p rui`

 

[shyhaeky_1111]

đề sai rùi bn, xem lại đi. @-) @-) @-) @-) @-)

Đề đúng rùi đó hok sai đâu bạn

 

[tuananh8]

Đề đúng rùi đó hok sai đâu bạn

phải là -[TEX]\sqrt[]{2} \leq x+y \leq \sqrt[]{2}[/TEX] chứ????

 

[gameboykid]

thế thui, dùng cô-si cho dễ:
Chia cả 2 vế cho , ta cần chứng minh:

Áp dụng BĐT cô-si: , ta có:
.Tương tự:

Cộng cả 2 vế của 2 BĐT trên ta có đpcm.

dài và khó hiểu quá )
với trình độ lớp 8 làm sao biến đổi dấu căn như thế dc

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

bất đẳng thức ^^

nè nè làm gium bai toan BDT
(a+b)^2(b+c)^2 \geq 4abc(a+b+c)
cố giải giùm nhé cảm on nha