[toán 8] bất đẳng thức

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/CHo a,b,c>0 thoả mãn abc=1
c/m $\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}$+$\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}$+
+$\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}$ < $\dfrac{1}{2}$
2/ CHo abc=1 và $a^3>36$
c/m $\dfrac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

 

[vipboycodon]

1. Theo bdt cauchy ta có:
$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3} = \dfrac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2} \le \dfrac{1}{2ab+2b+2} = \dfrac{1}{2(ab+b+1)}$
tương tự ta có :
$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+ \dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+ \dfrac{1}{ca+a+1})$
Mặt khác ta có:
$\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ca+a+1} = \dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\dfrac{b}{abc+ab+b} = 1$
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$

 

[riverflowsinyou1]

bdt chứng minh \Leftrightarrow $\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}+b^2+c^2-(\sum ab) \ge 0$
\Leftrightarrow $(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab-ac+2bc)+\frac{a^2}{12}-3bc \ge 0$
\Leftrightarrow $(\frac{a^2}{2}-b-c)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}\ge 0$ là bdt đúng

 

[minh1910]

bdt chứng minh \Leftrightarrow $\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}+b^2+c^2-(\sum ab) \ge 0$
\Leftrightarrow $(\frac{a^2}{4}+b^2+c^2-ab-ac+2bc)+\frac{a^2}{12}-3bc \ge 0$
\Leftrightarrow $(\frac{a^2}{2}-b-c)^2+\frac{a^3-36abc}{12a}\ge 0$ là bdt đúng

Bạn ơi ,cho mềnh hoải cái dấu $\sum$ xó ý nghĩa j zậy, bạn giải thích rõ hơn cho mềnh đc ko; tks bạn nhìu