[Toán 8] $a^3+b^3+c^3 \geq a^2.\sqrt{bc}+b^2.\sqrt{ca}+c^2.\sqrt{ab}$

S

soicon_boy_9x

Bài này bạn cần áp dụng 2 bất đẳng thức này:

1.Với x,y dương thì $(x+y)(x-y)^2 \geq 0$

$\leftrightarrow (x^2-y^2)(x-y) \geq 0$

$\leftrightarrow (x^3+y^3)-(x^2y+xy^2) \geq 0$

$\leftrightarrow x^3+y^3 \geq x^2y+xy^2=xy(x+y)(1)$

2.Bất đẳng thức côsi cho 2 số:

$a^2+b^2 \geq 2ab$(chứng minh bằng hằng đẳng thức bình phương một
hiệu)

$\leftrightarrow x+y \geq 2\sqrt{xy}(2)$(x,y lớn hơn 0)

Quay lại bài của bạn:

Nhận xét

$a;b;c \geq 0$ vì nếu có số lớn hơn 0,bé hơn 0.Không mất tính tổng quát
lấy 2 số a,b thì $\sqrt{ab}$ không xác định

Nếu cả 3 số cùng âm thì vế phải dương mà vế trái âm(vô lí)

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được:

$2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+(b^3+c^3) \geq
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)(I)$

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(b+a) \geq a^2.2\sqrt{bc}+b^2.2\sqrt{ac}+c^2.2
\sqrt{ab}(II)$

Từ (I) và (II) suy ra $a^3+b^3+c^3 \geq a^2.\sqrt{bc}+b^2.
\sqrt{ca}+c^2.\sqrt{ab}$
​
 
N

nagianghi

Cảm ơn bạn nhiều lắm!!! Mình quên đưa giả thiết là [TEX]a,b,c > 0.[/TEX]
Ở lớp mình cũng đã giải bài này nên cùng chia sẻ với mọi người:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ([TEX]a,b,c > 0[/TEX]):
[TEX]a^3+abc \geq 2.\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}[/TEX]
[TEX]b^3+abc \geq 2.\sqrt{b^4ca}=2b^2\sqrt{ca}[/TEX]
[TEX]c^3+abc \geq 2.\sqrt{c^4ab}=2c^2\sqrt{ab}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq 2(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab})[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ([TEX]a,b,c > 0[/TEX]):
[TEX]a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab} +3abc[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}[/TEX] (đpcm)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom