[Toán 7]Tuyển chọn một số bài toán nâng cao lớp 7

[ngochaipro123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1
Chứng minh rằng: $\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}-...+\frac{1}{2^{4n-2}} - \frac{1}{2^{4n}} +...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}} < 0,2.$

2.Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:

$D= \frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}$ \leq $\frac{3}{4}$.




Chú ý :
• Mem không được dùng chữ đỏ

• Gõ Latex

P.s : Đã sửa!

 

[tayhd20022001]

1.Chứng minh rằng:$\dfrac{1}{2^2}$-$\dfrac{1}{2^4}$+$\dfrac{1}{2^6}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$<0,2
$$Giải$$
Ta có :
A=$\dfrac{1}{2^2}$-$\dfrac{1}{2^4}$+$\dfrac{1}{2^6}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$<$\dfrac{1}{5}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2.2}$-$\dfrac{1}{4.4}$+$\dfrac{1}{8.8}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2^2.2^4}$+$\dfrac{1}{2^6.2^8}$+...+ $\dfrac{1}{2^{4n-2}.2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}.2^{2004}}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2^6}$+$\dfrac{1}{2^{14}}$+...+ $\dfrac{1}{2.^{4n.(-1)}}$+...+$\dfrac{1}{2^{4006}}$
Đó

 

[ngochaipro123]

Bạn có thể nào giảng rõ hơn dc ko mình ko hỉu :khi (186):

 

[vovantiendung]

Giả sử:[TEX]\frac{x}{2x+y+z}\leq\frac{y}{2y+z+x}\leq\frac{z}{2z+x+y}[/TEX]
nên:[TEX]\frac{x}{2x+y+z}\leq\frac{y}{2y+z+x}\leq\frac{z}{2z+x+y}\leq\frac{x+y+z}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac{x+y+z}{4x+4y+4z}[/TEX]
Suy ra: D[TEX]\leq3.\frac{x+y+z}{4x+4y+4z}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow D=[/TEX][TEX]3.\frac{x+y+z}{4.(x+y+z)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow D\leq3.\frac{1}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow D[/TEX][TEX]\leq\frac{3}{4}[/TEX]

 

[0973573959thuy]

Bài 1:

Đặt biểu thức đã cho là A.

$\dfrac{1}{2^{4n - 2}} - \dfrac{1}{2^{4n}} = \dfrac{2^{4n} - 2^{4n - 2}}{2^{4n}. 2^{4n - 2}}$

$= \dfrac{2^{4n} - \dfrac{2^{4n}}{4}}{2^{4n}. \dfrac{2^{4n}}{4}}$

$= \dfrac{4}{2^{4n}} - \dfrac{1}{2^{4n}} = \dfrac{3}{2^{4n}}$

Từ trên suy ra :

$A = \dfrac{3}{2^4} + \dfrac{3}{2^8} + ... + \dfrac{3}{2^{2000}} + \dfrac{3}{2^{2004}}$

$\leftrightarrow A = 3(\dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^8} + ... + \dfrac{1}{2^{2000}} + \dfrac{1}{2^{2004}})$

Muốn chứng minh A < 1/5 thì cần chứng minh $S = \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^8} + ... + \dfrac{1}{2^{2000}} + \dfrac{1}{2^{2004}} < \dfrac{1}{15}$

Thế nhưng mình nháp ra thì thấy $S > 1/15$

Vậy đề bài sai hay chăng ?

 

[0973573959thuy]

Bài 2:

$D = \dfrac{3}{2} + \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{z}{x + y}$

Do x,y,z là các số dương nên $ \dfrac{x}{y + z} + \dfrac{y}{x + z} + \dfrac{z}{x + y} < \dfrac{-3}{4}$

Do đó $D < \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$

Sao đề lại là cminh D \leq 3/4 nhỉ ?

 

[ngochaipro123]

Cho hỏi bạn nháp ra cái bài đầu tiên tại sao lớn hợn 1/5 cho mình hỏio=&gt;

 

[0973573959thuy]

Cho hỏi bạn nháp ra cái bài đầu tiên tại sao lớn hợn 1/5 cho mình hỏio=&gt;

Ta thấy tổng $S = \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^8} + ... + \dfrac{1}{2^{2000}} + \dfrac{1}{2^{2004}}$ có 501 số hạng [(2004 - 4) : 4 + 1 = 501 (số hạng)]

Ta tách $\dfrac{1}{15}$ thành tích của 501 và 1 phân số. ($\dfrac{1}{15} = 501. \dfrac{1}{7515}$

Như vậy ta phải chứng minh mỗi số hạng của tổng S nhỏ hơn $\dfrac{1}{7515}$

Mà mỗi số hạng của S lại lớn hơn 1/7515 nên mâu thuẫn. Vậy S > 1/15

 

[ngochaipro123]

Bạn ơi mình nghĩ bạn sai chỗ này tại sao bạn biết chắc \frac{1}{2^2004}>\frac{1}{7515}
Cho mình hỏi tại mình học dở lém làm dc mình thanks nhìu:khi (13):

 

[longht7865]

Giả sử:\frac{x}{2x+y+z}\leq\frac{y}{2y+z+x}\leq\frac{z}{2 z+x+y}
nên:\frac{x}{2x+y+z}\leq\frac{y}{2y+z+x}\leq\frac{z}{2 z+x+y}\leq\frac{x+y+z}{2x+y+z+2y+z+x+2z+x+y}=\frac {x+y+z}{4x+4y+4z}
Suy ra: D\leq3.\frac{x+y+z}{4x+4y+4z}
\Rightarrow D=3.\frac{x+y+z}{4.(x+y+z)}
\Rightarrow D\leq3.\frac{1}{4}
\Rightarrow D\leq\frac{3}{4}@-)

 

[duc_2605]

$\dfrac{1}{2^{2004}} = $\dfrac{1}{2^{13} . 2^{1991}}$ = 1/8192.2^1991

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
CM:\,\,\,\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + \frac{1}{{{2^6}}} - ... + \frac{1}{{{2^{4n}}}} - \frac{1}{{{2^{4n - 2}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2002}}}} - \frac{1}{{{2^{2004}}}} < 0,2\\
Giai:\\
\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^4}}} + \frac{1}{{{2^6}}} - ... + \frac{1}{{{2^{4n - 2}}}} - \frac{1}{{{2^{4n}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2002}}}} - \frac{1}{{{2^{2004}}}}\\
= \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^6}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n - 2}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2002}}}}} \right) - \left( {\frac{1}{{{2^4}}} + \frac{1}{{{2^8}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2004}}}}} \right)\\
Goi\,\,so\,\,bi\,\,tru\,\,la\,\,A,\,\,ta\,\,co:\\
A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^6}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n - 2}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2002}}}}\\
\frac{1}{{{2^4}}}A = \frac{1}{{{2^6}}} + \frac{1}{{{2^{10}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n + 2}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2006}}}}\\
A - \frac{1}{{{2^4}}}A = \frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{2^{2006}}}}\\
Goi\,\,so\,\,\,tru\,\,la\,\,B,\,\,ta\,\,co:\\
B = \frac{1}{{{2^4}}} + \frac{1}{{{2^8}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2004}}}}\\
\frac{1}{{{2^4}}}B = \frac{1}{{{2^8}}} + \frac{1}{{{2^{12}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{4n + 4}}}} + ... + \frac{1}{{{2^{2008}}}}\\
B - \frac{1}{{{2^4}}}B = \frac{1}{{{2^4}}} - \frac{1}{{{2^{2008}}}}\\
Cac\,\,ban\,\,tu\,\,lam\,\,tiep\,\,nhe\\
\\

\end{array}\]

 

[tvlong2001hn]

Cho:\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}
Tính: P=\frac{2a-b}{c+d}+\frac{2b-c}{a+d}+\frac{2c-d}{a+b}+\frac{2d-a}{b+c}

 

[tvlong2001hn]

[tex]\frac{x^2+5x +4}{\frac{3}{x}+1}[/tex]
gfhdtrftttttttttttt

 

[tvlong2001hn]

Cho:\frac{a}{b}=[tex]\frac{b}{c}[/tex]=[tex]\frac{c}{d}[/tex]=[tex]\frac{d}{a}[/tex]
Tính: P=[tex]\frac{2a-b}{c+d}[/tex]+[tex]\frac{2b-c}{a+d}[/tex]+[tex]\frac{2c-d}{a+b}[/tex]+[tex]\frac{2d-a}{b+c}[/tex]

 

[trasua_cacao]

A=1/4-1/4^2+1/4^3-..........+1/4^1001-1/4^1002
=> 4A =1-1/4+1/4^2-...........+1/4^1000-1/4^1001
=> 5A=1-1/4^1002<1
=>A<1/5=0,2.
:khi (69):

 

[a591592]

chán

1.Chứng minh rằng:$\dfrac{1}{2^2}$-$\dfrac{1}{2^4}$+$\dfrac{1}{2^6}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$<0,2
$$Giải$$
Ta có :
A=$\dfrac{1}{2^2}$-$\dfrac{1}{2^4}$+$\dfrac{1}{2^6}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$<$\dfrac{1}{5}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2.2}$-$\dfrac{1}{4.4}$+$\dfrac{1}{8.8}$-...+$\dfrac{1}{2^{4n-2}}$-$\dfrac{1}{2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}}$-$\dfrac{1}{2^{2004}}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2^2.2^4}$+$\dfrac{1}{2^6.2^8}$+...+ $\dfrac{1}{2^{4n-2}.2^{4n}}$+...+$\dfrac{1}{2^{2002}.2^{2004}}$
\Rightarrow A=$\dfrac{1}{2^6}$+$\dfrac{1}{2^{14}}$+...+ $\dfrac{1}{2.^{4n.(-1)}}$+...+$\dfrac{1}{2^{4006}}$
Đó

bài này dể quá rồi

 

[pinkylun]

Cho:\frac{a}{b}=[tex]\frac{b}{c}[/tex]=[tex]\frac{c}{d}[/tex]=[tex]\frac{d}{a}[/tex]
Tính: P=[tex]\frac{2a-b}{c+d}[/tex]+[tex]\frac{2b-c}{a+d}[/tex]+[tex]\frac{2c-d}{a+b}[/tex]+[tex]\frac{2d-a}{b+c}[/tex]

ta có:
*nếu a+b+c+d khác 0 thì
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{d}{a}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$
=>a=b=c=d
=>P=$\dfrac{2a-a}{a+a}+\dfrac{2a-a}{a+a}+\dfrac{2a-a}{a+a}+\dfrac{2a-a}{a+a}$
=>P=$\dfrac{a}{2a}+\dfrac{a}{2a}+\dfrac{a}{2a}$+\dfrac{a}{2a}
=>P=$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$
=>P=2

 

[pinkylun]

1
Chứng minh rằng: $\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^6}-...+\frac{1}{2^{4n-2}} - \frac{1}{2^{4n}} +...+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}} < 0,2.$


giải:đặt
A=$\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{2^6}-...+\dfrac{1}{2^{4n-2}} - \dfrac{1}{2^{4n}} +...+\dfrac{1}{2^{2002}}-\dfrac{1}{2^{2004}}$

=> A= $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}-...+\dfrac{1}{4^{1001}}-\dfrac{1}{4^{1002}}$


=> 4A=1- $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}-...+\dfrac{1}{4^{1000}}-\dfrac{1}{4^{1001}}$

=>4A+A=5A=$1-\dfrac{1}{4^{1002}}$

=>A=$\dfrac{1-\dfrac{1}{4^{1002}}}{5}$
mà $1-\dfrac{1}{4^{1002}}$<1

=>$\dfrac{1-\dfrac{1}{4^{1002}}}{5}<\dfrac{1}{5}$

=>A<$\dfrac{1}{5}$=0.2

 

[z0987654321]

Bài 1:

Đặt biểu thức đã cho là A.

$\dfrac{1}{2^{4n - 2}} - \dfrac{1}{2^{4n}} = \dfrac{2^{4n} - 2^{4n - 2}}{2^{4n}. 2^{4n - 2}}$

$= \dfrac{2^{4n} - \dfrac{2^{4n}}{4}}{2^{4n}. \dfrac{2^{4n}}{4}}$

$= \dfrac{4}{2^{4n}} - \dfrac{1}{2^{4n}} = \dfrac{3}{2^{4n}}$

Từ trên suy ra :

$A = \dfrac{3}{2^4} + \dfrac{3}{2^8} + ... + \dfrac{3}{2^{2000}} + \dfrac{3}{2^{2004}}$

$\leftrightarrow A = 3(\dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^8} + ... + \dfrac{1}{2^{2000}} + \dfrac{1}{2^{2004}})$

Muốn chứng minh A < 1/5 thì cần chứng minh $S = \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^8} + ... + \dfrac{1}{2^{2000}} + \dfrac{1}{2^{2004}} < \dfrac{1}{15}$

Thế nhưng mình nháp ra thì thấy $S > 1/15$

Vậy đề bài sai hay chăng ?

ta có 1/15>0,2 mà s>1/15nên s>0,2
đề không sai đâu bạn