[ Toán 7] Luyện tập trước tết

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đừng ham ăn quá anh em ơi làm bài này cho khởi động đã nào =))
Cho a,b,c>0
Hãy chứng minh (a+b+c).($\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$)\geq9
Mấy anh chị lớp 8,9 đừng xen vào giải nhé =))
Túi nay post lên vài bài cho vui =))

 

[congratulation11]

Mem 10 vẫn giải được )

([TEX]a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]

(*)​

Ta thấy: [TEX]VT(*)= 1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương, ta có:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2[/TEX]
---> [TEX]VT(*)\geq 3+2+2+2=9[/TEX]
---> [TEX]dpcm[/TEX]

 

[vipboycodon]

([TEX]a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]

(*)​

Ta thấy: [TEX]VT(*)= 1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương, ta có:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2[/TEX]
Tương tự:
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2[/TEX]
---> [TEX]VT(*)\geq 3+2+2+2=9[/TEX]
---> [TEX]dpcm[/TEX]

Nếu bạn biết sài cô - si thì làm kiểu này ngắn hơn nhiều :
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$
Nhân 2 vế cùng chiều của 2 bất đẳng thức trên ta được đpcm.

 

[congratulation11]

Nếu bạn biết sài cô - si thì làm kiểu này ngắn hơn nhiều :
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$
Nhân 2 vế cùng chiều của 2 bất đẳng thức trên ta được đpcm.

Ừ, cách của bạn nhanh hơn thật. Hì, một bài có nhiều cách giải mà!

 

[riverflowsinyou1]

!!!!!!!!!!

Nếu bạn biết sài cô - si thì làm kiểu này ngắn hơn nhiều :
$a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}$
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$
Nhân 2 vế cùng chiều của 2 bất đẳng thức trên ta được đpcm.

Nhưng mà lớp 7 tụi em học bất đẳng thức b/a+a/b là cao nhất rồi anh aj

 

[duc_2605]

(a+b+c).(1/a+1/b+1/c ) \geq 9
$a(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) + b(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) + c(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$
= $1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + 1 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + 1$
= $3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}$
= $3 + \dfrac{a + c}{b} + \dfrac{a + b}{c} + \dfrac{b + c}{a}$
Bỏ 3 ra cho gọn
= $\dfrac{(a+c)ac + (a + b)ba + (b + c)bc}{abc}$
= $\dfrac{(aac + cac + aba + bba + bbc + cbc}{abc}$
= $\dfrac{(aa(b + c) + cc(a+b) + bb(a+c) }{abc}$
= $3 + \dfrac{a(b+c)}{bc} + \dfrac{c(a+b)}{ab} + \dfrac{b(a+c)}{ac}$
= 3 + a : c + a : b + c : b + c : a + b : c + b : a
= 3 + 1 số luôn \geq 6 (cái này mình hk biết xm)
\Rightarrow Nó \geq 9
Xin lỗi mình làm quá dài dòng suy lận biến đổi nhiều quá vì mình ko học bđt.