[Toán 7]Giúp mình nhanh với

[anhtunggb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{n} $ với mọi n thuộc N , N\geq 2
Chú ý tiêu đề:[Môn+lớp]+Tiêu đề
Đã sửa.

 

[braga]

[TEX]\Large \red Note: \ \ \frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}[/TEX]​

 

[23121999chien]

Chứng minh rằng $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{5} $ với mọi n thuộc N , N\geq 2
Giải
Từ gợi ý của anh braga ta có:
$\dfrac{1}{2^2}$<$\dfrac{1}{2.(2-1)}$ hay $\dfrac{1}{2^2}$<1-$\dfrac{1}{2}$.
Tương tự ta được dãy như sau:
$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}$<1+1-$\dfrac{1}{2}$+$\dfrac{1}{2}$-$\dfrac{1}{3}$+...+$\dfrac{1}{n-1}$-$\dfrac{1}{n}$
hay $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}$<1+1-$\dfrac{1}{n}$
mà n\geq2=>$\dfrac{1}{n}$\leq0,5
=>1-$\dfrac{1}{n}$\geq0,5
=>1+1-$\dfrac{1}{n}$\geq1,5
hay $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}$<1,5
Mà 2-$\dfrac{1}{5}$=1,8
=>$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+.....+\frac{1}{n^{2}}<2-\frac{1}{5} $ với mọi n thuộc N , N\geq 2