giai gium minh tim nghiem nguyen
can x + can y = can 1998
Hjx bài này hay đấy.
[TEX]\sqrt{x} + sqrt{y} = sqrt{1998}[/TEX]
[TEX]x + y + 2\sqrt{xy} = 1998[/TEX]
[TEX] 1998 -x -y = 2 \sqrt{xy}[/TEX] (*)
\Rightarrow 1998 - (x + y) chia hết cho 2 => x + y chia hết cho 2
Đặt[TEX] x + y = 2m \Rightarrow y = 2m - x (1)[/TEX]
Vì 1998 - x - y nguyên ( vì x,y nguyên) [TEX] \Rightarrow sqrt{xy}[/TEX] nguyên
Đặt [TEX]sqrt{xy} = k \Rightarrow xy = k^2[/TEX]
Thay (1) vào ta được
[TEX] x(2m - x) = k^2[/TEX]
[TEX] x^2 - 2mx + k^2 = 0[/TEX]
[TEX] (x - m)^2 = m^2 - k^2 = (m-k)(m+k)[/TEX] (3)
Mặt khác Từ (*) ta có
[TEX]1998 - 2m = 2k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow m + k = 999[/TEX]
Thay vào (3) ta có
[TEX] (x - m)^2 = 999(m-k)[/TEX]
Vì [TEX] (x-m)^2[/TEX] là số chính phương nên [TEX]999(m-k)[/TEX] cũng là số chính phương, m nguyên, k nguyên [TEX]\Rightarrow m - k = 111[/TEX] hoặc [TEX] m - k = 999[/TEX]
Với [TEX]m - k = 111 \Rightarrow k = 444, m = 555[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = 888, y = 222 [/TEX]
Hoặc [TEX] x = 222, y = 888[/TEX]
Với[TEX] m - k = 999 \Rightarrow k = 0, m = 999[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = 0 , y = 1998[/TEX]
Hoặc[TEX] x = 1998 , y = 0[/TEX]
Vậy phuơng trình đã cho có 4 cặp nghiệm: [TEX](888,222); (222,888);(0,1998);(1998,0)[/TEX]
