[Toán 7]Chứng minh BĐT đê

[ledinhlocpt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) ( $ a^2 $ + $ b^2 $ ) ( $ b^2 $ + $ c^2 $ ) ( $ c^2 $ + $ a^2 $ ) \geq 8 $ a^2 $ $ b^2 $ $ c^2 $

b) [tex]a\sqrt{2b-1} + \sqrt{2a-1} \leq ab[/tex]

c) $ x^2 $ + $ y^2 $ + $ z^2 $ \geq 2xy-2xz+2yz

d) (x+y+z) ( $\dfrac{1}{x}$ + $\dfrac{1}{y}$ + $\dfrac{1}{z}$ ) \geq 9 ( với x;y;z \geq 0 )

Chú ý tiêu đề:[Môn+lớp]+Tiêu đề
Gõ Latex
Đã sửa.

 

[nguyentrantien]

alamit

a) ( $ a^2 $ + $ b^2 $ ) ( $ b^2 $ + $ c^2 $ ) ( $ c^2 $ + $ a^2 $ ) \geq 8 $ a^2 $ $ b^2 $ $ c^2 $
[tex] a^2+b^2\geq2ab[/tex]
[tex] b^2+c^2\geq2bc[/tex]
[tex] c^2+a^2\geq2ac[/tex]
nhân vế theo vế ta có
[tex](a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq8a^2b^2c^2[/tex]

 

[huuthuyenrop2]

Bài 1
Ta có:
$a^2+b^2$ \geq 2ab
$a^2+c^2$ \geq 2ac
$b^2+c^2$ \geq 2bc
Nhân lại ta sẽ có
$(a^2+b^2)(a^2+c^2)(b^2+c^2)$ \geq $ 8a^2b^2c^2$

 

[lan_phuong_000]

1)
$(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + a^2) \ge 2ab.2bc.2ca = 8a^2b^2c^2$

2) Đề đúng phải là: $a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \le ab$

Ta có: $1.\sqrt{b-1} \le \dfrac{1 + b - 1}{2} = \dfrac{b}{2}$
\Rightarrow $a\sqrt{b-1} \le \dfrac{ab}{2}$

Tương tự, suy ra: $a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \le \dfrac{ab}{2} + \dfrac{ba}{2} = ab$

4) Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.3\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}} = 9$

 

[thaolovely1412]

c)
Ta xét hiệu:[TEX] x^2 + y^2 + z^2 [/TEX] - ( 2xy – 2xz +2yz ) =[TEX] x ^2 + y^2 + z ^2[/TEX]- 2xy +2xz –2yz=[TEX] ( x-y+z)^2 [/TEX]
Mà [TEX](x-y+z)^2[/TEX] \geq 0 với mọi x,y,z
Vậy[TEX] x ^2 + y ^2 + z ^2[/TEX] -( 2xy – 2xz + 2yz) \geq 0 với mọi x;y;z
hay [TEX]x ^2 + y ^2 + z ^2 [/TEX] \geq 2xy – 2xz + 2yz
(Dấu bằng xảy ra khi x+y=z)

 

[congchuaanhsang]

d, Cái này phải có điều kiện x,y,z dương
Ta có: (x+y+z)($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$)
=3+$\frac{x}{y}$+$\frac{x}{z}$+$\frac{y}{x}$ + $\frac{y}{z}$ + $\frac{z}{x}$+$\frac{z}{y}$
=3+($\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$)+( $\frac{x}{z}$ + $\frac{z}{x}$ )+($\frac{y}{z}$+$\frac{z}{y}$)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có:
$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$\geq$2\sqrt{ \frac{x}{y} . \frac{y}{x} }$=2
Tương tự $\frac{x}{z}$+$\frac{z}{x}$\geq2 ; $\frac{y}{z}$+$\frac{z}{y}$\geq2
\RightarrowA\geq3+2+2+2=9
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrowx=y=z

 

[lan_phuong_000]

ko có ai làm dc câu d akb-(b-(b-(b-(b-(b-(b-( \
\leq

4) Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9$

Làm ở phía trên rồi mà, chỉ thay đổi x,y,z thành a,b,c thôi .

 

[congchuaanhsang]

1)

4) Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương

$(a+b+c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \ge 3\sqrt[3]{abc}.3\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}} = 9$

Ko đk đâu bạn ạ! Đúng là:
a+b+c\geq$3\sqrt[3]{abc}$ ; $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$ \geq $3\sqrt[3]{ \frac{1}{abc} }$
Nhưng để nhân từng vế của 2 BĐT này thì cần có điều kiện cả 2 vế đều dương, tức là a,b,c dương mới làm đk!