[Toán 7] Chứng minh bất đẳng thức

[serena_tsukino]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c >0 , thoả mãn :
$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$ \geq 2
C/m a.b.c \leq $\frac{1}{8}$

 

[riverflowsinyou1]

Giải

Từ đề suy ra :
$\frac{1}{1+a}$\geq$\frac{c}{c+1}$+$\frac{b}{b+1}$ (4)
$\frac{1}{1+b}$\geq $\frac{a}{a+1}$+$\frac{c}{c+1}$ (5)
$\frac{1}{1+c}$\geq$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$ (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$\frac{c}{c+1}$+$\frac{b}{b+1}$ \geq2.$\sqrt[2]{b.c/(c+1).(b+1)}$(1)
$\frac{a}{a+1}$+$\frac{c}{c+1}$\geq 2.$\sqrt[2]{a.c/(a+1).(c+1)}$(2)
$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$ \geq 2.$\sqrt[2]{a.b/(a+1)(b+1)}$(3)
Từ (1);(2);(3);(4);(5);(6) suy ra
(1+a).(1+b).(c+1)\leq $\frac{1}{8}$.$\frac{(a+1).(b+1).(c+1)}{a.b.c}$
\Rightarrow a.b.c\leq$\frac{1}{8}$(đpcm)