[Toán 7] Cần chứng minh.

[mr_cross_fire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

$a/ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 6$
$b/ n^3+3n^2-n-3 \vdots 48$ với n lẻ.

 

[izamaek]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

$a/ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 6$
$b/ n^3+3n^2-n-3 \vdots 48$ với n lẻ.

a)
$ 4n^3+9n^2-19n-30$
$=4n^3+4x^2+5x^2+5x-24x-30$
$=(4x^3+4x^2-24x)+(5x^2+5x-30)$
$=4x(x^2+x-6) + 5(x^2+x-6)$
$=(4x+5)(x^2+x-6)$
$=(4x+5)(x^2+3x-2x-6)$
$=(4x+5)(x-2)(x+3)$
Xét $x= 3k$ thì $x+3 \vdots 3$ => $ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 3$
Xét $x= 3k+1$ thì $4x+5= 12k+4+5= 12k+9= 3(4k+3) \vdots 3$=>$ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 3$
Xét $x= 3k+2$ thì $x-2=3k \vdots 3$=>$ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 3$


$4n^3+9n^2-19n-30$, ta thấy $4n^3$ và $-30$ đều chia hết cho 2.
Nếu $n=2k$ thì cả $9n^2$ và $-19n$ đều chia hết cho 2=> $9n^2-19n-30\vdots 2$=>$4n^3+9n^2-19n-30\vdots 2$
Nếu $n=2k+1$ thì cả $9n^2$ và $-19n$ đều không chia hết cho 2=> $9n^2-19n-30\vdots 2$=>$4n^3+9n^2-19n-30\vdots 2$
CM được $4n^3+9n^2-19n-30\vdots 2$ và $ 4n^3+9n^2-19n-30 \vdots 3$ ta có được điều cần chứng minh

 

[thaonguyenkmhd]

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
$b/ n^3+3n^2-n-3 \ \vdots \ 48$ với n lẻ

Ta có $n^3+3n^2-n-3 \\ =n^3-n+3n^2-3 \\ =n(n^2-1)+3(n^2-1) \\ =n(n-1)(n+1)+3(n-1)(n+1) \ \vdots \ 3 (1) \\ =(n-1)(n+1)(n+3) \\ =2k(2k+2)(2k+4) \ (n=2k+1 \ với \ k \in N )$

Do $(2k+2)(2k+4)$ là tích 2 số chẵn liên tiếp $\rightarrow (2k+2)(2k+4) \ \vdots \ 8 \rightarrow 2k(2k+2)(2k+4) \ \vdots \ 8.2=16 (2)$

Từ (1); (2) và do $ (3; 16)=1 \rightarrow n^3+3n^2-n-3 \ \vdots \ 3.16=48 ( đpcm )$