Toán 12 Toán 12

[skybeam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các pác giải giúp bài này:

Cho tam giác ABC.Gọi O,H,G lần lượt : tâm đường tròn ngoại tiếp,trực tâm và trọng tâm của tam giác.Gỉa sử X là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Đặt[tex] M = {XA}^{2} + {XB}^{2} + {XC}^{2}[/tex];E,F là các điểm thuộc đường tròn trên và tại đó M lần lượt nhận những giá trị tương ứng lớn nhất,nhỏ nhất.CMR năm điểm H,O,G,E,F cùng thuộc một đường thẳng.

 

[huy2710]

sai đừng chửi em T_T

Pác này pro nên chắc dễ dàng chứng minh là [tex]O,H,G[/tex] thẳng hàng rùi
Qua 3 điểm trên, ta kẻ đường kính [tex]CD[/tex]
Ta có: [tex]A=XA^2+XB^2+XC^2-(XH^2+2XO^2)=(\vec{XO}+\vec{OA})^2+(\vec{XO}+\vec{OB})^2+(\vec{XO}+\vec{OC})^2-(\vec{XO}^2+\vec{OH})^2-2XO^2[/tex]
[tex]=OA^2+OB^2+OC^2+2\vec{XO}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}-\vec{OH})-OH^2[/tex]
Mà ta dễ dàng chứng minh [tex]\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=3R^2-OH^2=const[/tex]
[tex]\Rightarrow VT_{min} \Leftrightarrow (XH^2+2XO^2) min[/tex]
và [tex]VT_{max} \Leftrightarrow (XH^2+2XO^2) max[/tex]
Mà [tex]XO=R=const[/tex]
Suy ra [tex]XA^2+XB^2+XC^2[/tex] min khi [tex]|XH|[/tex] min và [tex]XA^2+XB^2+XC^2[/tex] max khi [tex]|XH|[/tex] max
Mà [tex]|\vec{XH}|=|\vec{CH}-\vec{CX}|\ge |\vec{CH}|-|\vec{CX}|\ge |\vec{CH}|=const[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\vec{XC}=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] X trùng C hay E trùng C
Tương tự, ta cũng có [tex]|\vec{XH}|=|\vec{XD}+\vec{DH}|\le |\vec{DH}-\vec{DX}|\le |\vec{DH}|[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]\vec{DX}=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] X trùng D hay F trùng D
=> Đpcm
Done