Toán 12 [Toán 12] Ứng dụng của đồng nhất thức đại số vào hình học

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ta xét đồng nhất thức sau:
$$ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=(a-b)(b-c)(c-a)$$
Lấy modum 2 vế và áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:
$$\sum_{cyc} |a||b||a-b| \ge |ab(b-a)+bc(c-b)+ca(a-c)|=|a-b||b-c||c-a|$$
Đặt $a=\vec{OA}, b=\vec{OB}, c=\vec{OC}$
Ta có thể dự đoán sẽ có bất đẳng thức:
$$|\vec{OA}|.|\vec{OB}|.|\vec{AB}|+|\vec{OB}|.| \vec{OC}|. |\vec{BC}|+|\vec{OC}|.|\vec{OA}|.|\vec{CA}| \ge |\vec{BA}|.| \vec{CB}|.|\vec{AC}|$$

Từ đó, ta có bài toán sau:
Tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kỳ trong mặt phẳng chứa tam giác. Chứng minh rằng:
$$BC.PB.PC+CA.PC.PA+AB.PA+PB \ge BC.CA.AB$$
Và bài này là một bài rất khó.

Anh chị có thể chế các bài bất đẳng thức hình khác từ một đồng nhất thức nào đó một cách tương tự

 

[huynhbachkhoa23]

Ví dụ khác:
Từ đồng nhất thức:
$$\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}=1$$
Lấy modul hai vế và áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:
$$\sum_{cyc}\dfrac{|a^2|}{|a-b||a-c|}=\sum_{cyc} \left|\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}\right|\ge \left|\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{(a-b)(a-c)}\right|=1$$
Chọn $a=\vec{OA}, b=\vec{OB}, c=\vec{OC}$
Ta sẽ có bài toán sau:
Cho $M$ là điểm tùy ý nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC$. Khi đó ta luôn có:
$$BC.MA^2+CA.MB^2+AB.MC^2 \ge BC.CA.AB$$

 

[huynhbachkhoa23]

Ta thấy từ kết quả bài trên, nếu chọn $M \equiv O$ là tâm ngoại tiếp và giả sử $OA=OB=OC=R$.
$R^2(BC+CA+AB)\ge BC.CA.AB \leftrightarrow R^2 \ge \dfrac{BC.CA.AB}{BC+CA+AB}=\dfrac{abc}{2p}=2Rr \leftrightarrow R^2 \ge 2r$, đây là bất đẳng thức Euler.