[Toán 12]Tính tích phân!

[bin310396]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx(sin^4x+cos^4x)$$

 

[quocthinh_psi]

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} cosx(sin^4x+cos^4x)$$

\[\begin{array}{l}
{({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\cos ^2}x(1 - {\cos ^2}x)\\
\Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 + 2{\cos ^2}x({\cos ^2}x - 1)\\
\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x({{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left[ {1 + 2{{\cos }^2}x({{\cos }^2}x - 1)} \right]dx}
\end{array}\]
Đến đây đơn giản rồi bạn nhé

 

[bin310396]

Em mới học cái này đc một ngày nên vẫn chưa biết làm ntn!

 

[delta_epsilon]

Em mới học cái này đc một ngày nên vẫn chưa biết làm ntn!

Chỉ cần biến đổi $\sin ^4 x + \cos ^4 x$ về hàm số theo $\sin x$ sau đó tích phân từng phần là ra bạn nhé
$\begin{array}{l}
{({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x(1 - {\sin ^2}x)\\
= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2{\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x + 1\\
\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {2{{\sin }^4}x - 2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx} \\
u = 2{\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x + 1 \Rightarrow du = ?\\
dv = \cos xdx \Rightarrow v = \sin x\\
I = \left. {uv} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {vdu}
\end{array}$

 

[quocthinh_psi]

Chỉ cần biến đổi $\sin ^4 x + \cos ^4 x$ về hàm số theo $\sin x$ sau đó tích phân từng phần là ra bạn nhé
$\begin{array}{l}
{({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x(1 - {\sin ^2}x)\\
= {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - 2{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2{\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x + 1\\
\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {2{{\sin }^4}x - 2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx} \\
u = 2{\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x + 1 \Rightarrow du = ?\\
dv = \cos xdx \Rightarrow v = \sin x\\
I = \left. {uv} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {vdu}
\end{array}$

Dùng phương pháp biến đổi số sẽ nhanh hơn
$\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos x\left( {2{{\sin }^4}x - 2{{\sin }^2}x + 1} \right)dx} \\
u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\\
x = 0 \Rightarrow u = 0\\
x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\\
I = \int\limits_0^1 {\left( {2{u^4} - 2{u^2} + 1} \right)du} = \left. {\left( {\dfrac{{2{u^5}}}{5} - \dfrac{{2{u^3}}}{3} + u} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{11}}{{15}}
\end{array}$